Номер 37, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

37 Постройте отрицание к утверждению:

a) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти, но более трёх очков»;

б) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти или более трёх очков»;

в) «В данном треугольнике два угла равны и в нём нет двух равных сторон»;

г) «В данном треугольнике два угла равны или в нём нет двух равных сторон»;

д) «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 1 или 2»;

е) «Натуральное число делится на 3 и сумма его цифр тоже делится на 3».

Для построения отрицания к утверждениям используются законы логики, в частности, законы де Моргана:

• Отрицанием конъюнкции (союз «и») является дизъюнкция отрицаний: $\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$.
• Отрицанием дизъюнкции (союз «или») является конъюнкция отрицаний: $\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$.

Также используются отрицания для операций сравнения:

• Отрицание «меньше» ($<$) — это «больше или равно» ($\ge$).
• Отрицание «больше» ($>$) — это «меньше или равно» ($\le$).

а) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти, но более трёх очков»

Исходное утверждение является конъюнкцией (союз «но» эквивалентен союзу «и») двух высказываний. Пусть $x$ — число выпавших очков.

A: «выпало менее пяти очков» ($x < 5$).

B: «выпало более трёх очков» ($x > 3$).

Утверждение: $A \land B$. Это условие выполняется только для $x=4$.

Отрицанием будет дизъюнкция отрицаний: $\neg A \lor \neg B$.

$\neg A$: «выпало не менее пяти очков», то есть «пять или более очков» ($x \ge 5$).

$\neg B$: «выпало не более трёх очков», то есть «три или менее очков» ($x \le 3$).

Соединив их союзом «или», получаем отрицание.

Ответ: При бросании игрального кубика выпало не менее пяти или не более трёх очков.

б) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти или более трёх очков»

Исходное утверждение является дизъюнкцией двух высказываний. Пусть $x$ — число выпавших очков.

A: «выпало менее пяти очков» ($x < 5$), что соответствует $\{1, 2, 3, 4\}$.

B: «выпало более трёх очков» ($x > 3$), что соответствует $\{4, 5, 6\}$.

Утверждение: $A \lor B$. Объединение этих множеств даёт $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, то есть любое возможное значение на кубике. Следовательно, исходное утверждение всегда истинно (тавтология).

Отрицанием будет конъюнкция отрицаний: $\neg A \land \neg B$.

$\neg A$: «выпало не менее пяти очков» ($x \ge 5$).

$\neg B$: «выпало не более трёх очков» ($x \le 3$).

Соединив их союзом «и», получаем утверждение, которое никогда не может быть истинным (противоречие), так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 3.

Ответ: При бросании игрального кубика выпало не менее пяти и не более трёх очков.

в) «В данном треугольнике два угла равны и в нём нет двух равных сторон»

Это конъюнкция двух утверждений.

A: «В данном треугольнике два угла равны».

B: «в нём нет двух равных сторон».

Согласно свойству равнобедренного треугольника, утверждение A истинно тогда и только тогда, когда истинно утверждение «в нём есть две равные стороны», которое является отрицанием утверждения B ($\neg B$). Таким образом, исходное утверждение имеет вид $A \land \neg A$ (или $\neg B \land B$), что является логическим противоречием (всегда ложно).

Отрицанием противоречия является тавтология (всегда истинное утверждение). Построим его по правилу $\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$.

$\neg A$: «В данном треугольнике неверно, что два угла равны» (т.е. все углы различны).

$\neg B$: «Неверно, что в нём нет двух равных сторон» (т.е. в нём есть две равные стороны).

Ответ: В данном треугольнике неверно, что два угла равны, или в нём есть две равные стороны.

г) «В данном треугольнике два угла равны или в нём нет двух равных сторон»

Это дизъюнкция двух утверждений.

A: «В данном треугольнике два угла равны».

B: «в нём нет двух равных сторон».

Как и в предыдущем пункте, $A \iff \neg B$. Исходное утверждение можно представить в виде $A \lor \neg A$ (или $\neg B \lor B$), что является тавтологией (всегда истинно).

Отрицанием тавтологии является противоречие. Построим его по правилу $\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$.

$\neg A$: «В данном треугольнике нет двух равных углов».

$\neg B$: «В нём есть две равные стороны».

Ответ: В данном треугольнике нет двух равных углов и в нём есть две равные стороны.

д) «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 1 или 2»

Это дизъюнкция двух утверждений.

A: «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 1».

B: «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 2».

Утверждение $A \lor B$ означает, что остаток от деления на 3 не равен 0, то есть число не делится на 3.

Отрицанием будет конъюнкция отрицаний: $\neg A \land \neg B$.

$\neg A$: «остаток от деления на 3 не равен 1».

$\neg B$: «остаток от деления на 3 не равен 2».

Утверждение «остаток не равен 1 и не равен 2» означает, что он должен быть равен 0 (так как при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2). Если остаток равен 0, то число делится на 3 нацело.

Ответ: Натуральное число делится на 3.

е) «Натуральное число делится на 3 и сумма его цифр тоже делится на 3»

Это конъюнкция двух утверждений.

A: «Натуральное число делится на 3».

B: «сумма его цифр тоже делится на 3».

Согласно признаку делимости на 3, утверждения A и B эквивалентны ($A \iff B$). То есть, они всегда либо оба истинны, либо оба ложны. Поэтому исходное утверждение $A \land B$ эквивалентно просто утверждению A (или B).

Следовательно, отрицание утверждения $A \land B$ эквивалентно отрицанию $\neg A$.

$\neg A$: «Натуральное число не делится на 3».

Можно прийти к этому же выводу, формально применив правило де Моргана $\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$. Так как $\neg A$ эквивалентно $\neg B$, то дизъюнкция «($\neg A$) или ($\neg B$)» эквивалентна просто $\neg A$.

Ответ: Натуральное число не делится на 3.