Номер 1, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

1 Что такое противоположные события?

1 Что такое противоположные события?

В теории вероятностей противоположным событием (или дополнением) к некоторому событию $A$ называют событие, которое обозначается как $\bar{A}$ (читается "А с чертой") и которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$.

Иными словами, событие $A$ и противоположное ему событие $\bar{A}$ обладают двумя ключевыми свойствами:

• Они взаимоисключающие: события $A$ и $\bar{A}$ не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания.
• Они исчерпывающие (или образуют полную группу событий): в результате испытания обязательно произойдет либо событие $A$, либо событие $\bar{A}$. Других исходов быть не может.

Главное свойство, связывающее вероятности противоположных событий, заключается в том, что их сумма всегда равна 1:

$$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$

Это свойство очень полезно на практике. Часто бывает гораздо проще вычислить вероятность противоположного события $\bar{A}$ и затем найти искомую вероятность события $A$, вычитая из единицы:

$$ P(A) = 1 - P(\bar{A}) $$

Примеры:

1. Бросок игральной кости.
   Пусть событие $A$ — "выпало 6 очков".
   Тогда противоположное событие $\bar{A}$ — "не выпало 6 очков", то есть "выпало 1, 2, 3, 4 или 5 очков".
   Вероятность события $A$ равна $P(A) = \frac{1}{6}$.
   Вероятность события $\bar{A}$ равна $P(\bar{A}) = \frac{5}{6}$.
   Проверка: $P(A) + P(\bar{A}) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

2. Стрельба по мишени.
   Пусть событие $B$ — "стрелок попал в мишень".
   Тогда противоположное событие $\bar{B}$ — "стрелок промахнулся".

3. Сложное событие.
   Пусть событие $C$ — "при трёх бросках монеты орёл выпал хотя бы один раз".
   Найти вероятность этого события напрямую довольно громоздко (нужно посчитать варианты: один орёл, два орла, три орла).
   Гораздо проще рассмотреть противоположное событие $\bar{C}$ — "орёл не выпал ни разу", то есть все три раза выпала решка.
   Вероятность $\bar{C}$ равна $P(\bar{C}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
   Тогда искомая вероятность события $C$ равна $P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: Противоположные события — это два события, которые в рамках одного эксперимента являются взаимоисключающими (не могут произойти одновременно) и исчерпывающими (одно из них обязательно произойдет). Если одно событие обозначить как $A$, то противоположное ему $\bar{A}$ происходит тогда, когда не происходит $A$. Сумма их вероятностей всегда равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.