Страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

41 В случайном эксперименте 20 элементарных событий. Событию A благоприятствуют 12 из них. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $\overline{A}$?

Пусть $N$ — это общее число элементарных событий в случайном эксперименте. Согласно условию задачи, $N = 20$.

Пусть $N(A)$ — это число элементарных событий, которые благоприятствуют событию А. По условию, $N(A) = 12$.

Событие $\overline{A}$ является противоположным (дополнительным) к событию А. Это означает, что событие $\overline{A}$ наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Таким образом, множество элементарных событий, благоприятствующих $\overline{A}$, является дополнением к множеству событий, благоприятствующих А, до полного множества всех элементарных событий.

Число элементарных событий, благоприятствующих событию $\overline{A}$, которое мы обозначим как $N(\overline{A})$, можно найти, вычтя из общего числа элементарных событий число событий, благоприятствующих событию А.

Формула для нахождения числа благоприятствующих событий для $\overline{A}$ выглядит так:
$N(\overline{A}) = N - N(A)$

Подставим в формулу известные значения:
$N(\overline{A}) = 20 - 12 = 8$

Следовательно, 8 элементарных событий благоприятствуют событию $\overline{A}$.

Ответ: 8

42 В некотором случайном опыте может произойти событие K. Найдите вероятность события $\overline{K}$, если вероятность события K равна:

а) 0,4;

б) 0,85;

в) 0,13;

г) $\frac{1}{2}$.

Событие $\overline{K}$ является противоположным (дополнительным) событию K. Это означает, что в результате опыта может произойти либо событие K, либо событие $\overline{K}$. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1, так как одно из них обязательно произойдет. Это выражается формулой:
$P(K) + P(\overline{K}) = 1$
Из этой формулы можно найти вероятность противоположного события $\overline{K}$:
$P(\overline{K}) = 1 - P(K)$
Используем эту формулу для решения каждого подпункта.

а) Если вероятность события K равна $P(K) = 0,4$, то вероятность противоположного события $\overline{K}$ вычисляется как:
$P(\overline{K}) = 1 - P(K) = 1 - 0,4 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

б) Если вероятность события K равна $P(K) = 0,85$, то вероятность противоположного события $\overline{K}$ вычисляется как:
$P(\overline{K}) = 1 - P(K) = 1 - 0,85 = 0,15$.
Ответ: 0,15.

в) Если вероятность события K равна $P(K) = 0,13$, то вероятность противоположного события $\overline{K}$ вычисляется как:
$P(\overline{K}) = 1 - P(K) = 1 - 0,13 = 0,87$.
Ответ: 0,87.

г) Если вероятность события K равна $P(K) = \frac{1}{2}$, то вероятность противоположного события $\overline{K}$ вычисляется как:
$P(\overline{K}) = 1 - P(K) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

43 Докажите, что события А и В не могут быть противоположными, если $P(A) = 0,7$, а $P(B) = 0,44$.

Два события называются противоположными, если они несовместны (не могут произойти одновременно) и их объединение образует все пространство элементарных исходов. Основное свойство противоположных событий заключается в том, что сумма их вероятностей равна 1.

Если бы события $A$ и $B$ были противоположными, то для их вероятностей $P(A)$ и $P(B)$ должно было бы выполняться следующее равенство: $$P(A) + P(B) = 1$$

Проверим, выполняется ли это условие для данных в задаче значений. Нам дано, что $P(A) = 0,7$ и $P(B) = 0,44$.

Найдем сумму этих вероятностей: $$P(A) + P(B) = 0,7 + 0,44 = 1,14$$

Полученная сумма $1,14$ не равна $1$. Это противоречит определению и свойству противоположных событий. Следовательно, события $A$ и $B$ с заданными вероятностями не могут быть противоположными.

Ответ: События $A$ и $B$ не могут быть противоположными, так как сумма их вероятностей $P(A) + P(B) = 0,7 + 0,44 = 1,14$, а для противоположных событий эта сумма должна быть равна 1.

1 Что такое противоположные события?

1 Что такое противоположные события?

В теории вероятностей противоположным событием (или дополнением) к некоторому событию $A$ называют событие, которое обозначается как $\bar{A}$ (читается "А с чертой") и которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$.

Иными словами, событие $A$ и противоположное ему событие $\bar{A}$ обладают двумя ключевыми свойствами:

• Они взаимоисключающие: события $A$ и $\bar{A}$ не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания.
• Они исчерпывающие (или образуют полную группу событий): в результате испытания обязательно произойдет либо событие $A$, либо событие $\bar{A}$. Других исходов быть не может.

Главное свойство, связывающее вероятности противоположных событий, заключается в том, что их сумма всегда равна 1:

$$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$

Это свойство очень полезно на практике. Часто бывает гораздо проще вычислить вероятность противоположного события $\bar{A}$ и затем найти искомую вероятность события $A$, вычитая из единицы:

$$ P(A) = 1 - P(\bar{A}) $$

Примеры:

1. Бросок игральной кости.
   Пусть событие $A$ — "выпало 6 очков".
   Тогда противоположное событие $\bar{A}$ — "не выпало 6 очков", то есть "выпало 1, 2, 3, 4 или 5 очков".
   Вероятность события $A$ равна $P(A) = \frac{1}{6}$.
   Вероятность события $\bar{A}$ равна $P(\bar{A}) = \frac{5}{6}$.
   Проверка: $P(A) + P(\bar{A}) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

2. Стрельба по мишени.
   Пусть событие $B$ — "стрелок попал в мишень".
   Тогда противоположное событие $\bar{B}$ — "стрелок промахнулся".

3. Сложное событие.
   Пусть событие $C$ — "при трёх бросках монеты орёл выпал хотя бы один раз".
   Найти вероятность этого события напрямую довольно громоздко (нужно посчитать варианты: один орёл, два орла, три орла).
   Гораздо проще рассмотреть противоположное событие $\bar{C}$ — "орёл не выпал ни разу", то есть все три раза выпала решка.
   Вероятность $\bar{C}$ равна $P(\bar{C}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
   Тогда искомая вероятность события $C$ равна $P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Ответ: Противоположные события — это два события, которые в рамках одного эксперимента являются взаимоисключающими (не могут произойти одновременно) и исчерпывающими (одно из них обязательно произойдет). Если одно событие обозначить как $A$, то противоположное ему $\bar{A}$ происходит тогда, когда не происходит $A$. Сумма их вероятностей всегда равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

2 Обязательно ли события на диаграммах Эйлера изображаются кругами?

Нет, не обязательно. Диаграммы Эйлера — это схематическое представление отношений между множествами. Главное в этих диаграммах — это не конкретная геометрическая форма фигур, а их топологическое взаимное расположение, которое иллюстрирует логические связи между множествами (событиями).

Круги являются самой распространённой и традиционной формой для изображения множеств, так как они просты в построении и их пересечения легко воспринимаются визуально. Однако для этой цели могут быть использованы любые простые замкнутые фигуры, например, овалы, прямоугольники, треугольники или даже фигуры неправильной формы.

Основное требование заключается в том, чтобы каждая фигура чётко обозначала границы одного множества, а их взаимное расположение — пересечение, вложенность или отсутствие общих элементов — правильно отражало отношения между этими множествами. Например, тот факт, что множество $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$), будет показан фигурой $A$, полностью находящейся внутри фигуры $B$, независимо от того, являются ли эти фигуры кругами, квадратами или овалами.

Ответ: Нет, не обязательно. На диаграммах Эйлера события (множества) могут изображаться любыми замкнутыми фигурами, а не только кругами.

3 Что означает прямоугольник, внутри которого изображаются события на диаграммах Эйлера?

На диаграммах Эйлера (и их частном случае — диаграммах Венна) прямоугольник, который охватывает все остальные фигуры, представляет собой универсальное множество. Это фундаментальное понятие, обозначающее совокупность всех возможных элементов или исходов, которые рассматриваются в контексте данной конкретной задачи.

В теории вероятностей это множество также носит название пространство элементарных событий и обычно обозначается латинской буквой $U$ (от англ. Universal set) или греческой буквой $\Omega$ (омега). Любое рассматриваемое событие является подмножеством этого универсального множества.

Круги или другие замкнутые фигуры, изображаемые внутри прямоугольника, представляют собой конкретные события (подмножества). Точки, находящиеся внутри такой фигуры, соответствуют элементам, принадлежащим данному множеству (событию). Область же внутри прямоугольника, но за пределами всех фигур, представляет собой элементы, которые входят в универсальное множество, но не принадлежат ни одному из рассматриваемых событий.

Таким образом, прямоугольник задает границы "вселенной" задачи, включая в себя абсолютно все возможные объекты или исходы, о которых может идти речь.

Ответ: Прямоугольник на диаграммах Эйлера обозначает универсальное множество — множество, включающее в себя все возможные элементы или исходы, относящиеся к рассматриваемой задаче.

4 Сформулируйте словами свойство вероятностей противоположных событий.

Два события называются противоположными (или дополнительными), если они не могут произойти одновременно (являются несовместными), и в результате испытания одно из них обязательно происходит (их объединение является достоверным событием). Если одно событие обозначить как $A$, то противоположное ему событие обозначают как $\bar{A}$ (читается "не А"). Таким образом, событие $\bar{A}$ происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие $A$.

Свойство вероятностей противоположных событий формулируется словами следующим образом: сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Математически это свойство записывается в виде формулы:$P(A) + P(\bar{A}) = 1$где $P(A)$ — это вероятность наступления события $A$, а $P(\bar{A})$ — это вероятность наступления противоположного ему события $\bar{A}$.

Пояснение: Поскольку в результате любого испытания обязательно происходит либо событие $A$, либо событие $\bar{A}$, их объединение составляет всё пространство элементарных исходов, то есть является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1. Так как события $A$ и $\bar{A}$ несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей, что и приводит к указанной формуле.

Пример: При броске игрального кубика рассмотрим событие $A$ = "выпало число 6". Вероятность этого события $P(A) = 1/6$. Противоположным ему будет событие $\bar{A}$ = "не выпало число 6" (то есть выпало 1, 2, 3, 4 или 5). Вероятность этого события $P(\bar{A}) = 5/6$. Проверим свойство: $P(A) + P(\bar{A}) = 1/6 + 5/6 = 6/6 = 1$.

Из этого свойства вытекает важное следствие, которое часто используется для решения задач: вероятность события можно найти, вычтя из единицы вероятность противоположного ему события: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Ответ: Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.