Страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Почему не требуется строить секторы круговой диаграммы очень точно?

Основная цель круговой диаграммы — предоставить наглядное, интуитивно понятное представление о соотношении частей внутри единого целого, а не служить инструментом для точных измерений. Человеческий глаз хорошо справляется с оценкой общих пропорций, позволяя быстро понять, какая доля больше, а какая меньше. Однако он не способен с высокой точностью определить градусную меру угла или точный процент, просто взглянув на сектор. Например, визуально отличить сектор, представляющий 23% (угол $360^\circ \cdot 0.23 = 82.8^\circ$), от сектора в 25% (угол $90^\circ$) довольно сложно.

Именно по этой причине для передачи точной информации круговые диаграммы практически всегда сопровождаются подписями (метками данных), которые указывают конкретные проценты или значения для каждого сектора. Зритель полагается на эти цифры для получения точных данных, в то время как сами секторы служат лишь визуальной опорой, которая помогает быстрее воспринять информацию и сравнить доли между собой.

Таким образом, при построении диаграммы главное — сохранить общую пропорциональность, чтобы самый большой сектор соответствовал наибольшему значению, а самый маленький — наименьшему. Небольшие неточности в построении углов не искажают общее визуальное сообщение, которое несет диаграмма.

Ответ: Круговая диаграмма предназначена для быстрой визуальной оценки и сравнения долей, а не для точного измерения. Точные данные указываются в подписях к секторам, поэтому незначительные погрешности в построении самих секторов не влияют на правильное восприятие информации.

2 В таблице 19 даны средние глубины пяти океанов. Имеет ли смысл использовать круговую диаграмму для графического изображения этих данных о глубинах?

Нет, использовать круговую диаграмму для графического изображения данных о средних глубинах океанов не имеет смысла.

Круговая диаграмма предназначена для того, чтобы показывать структуру целого, то есть соотношение долей (частей) в общей сумме. Весь круг на такой диаграмме представляет собой 100% (или целое), а секторы — это его части.

В данном случае средние глубины океанов — это независимые друг от друга величины. Их нельзя сложить, чтобы получить некое осмысленное "целое". Сумма средних глубин всех океанов не является какой-либо значимой физической или статистической величиной. Каждая глубина — это отдельная характеристика своего океана.

Для сравнения независимых величин, таких как средние глубины, гораздо лучше подходит столбчатая диаграмма. На ней высота каждого столбца будет соответствовать средней глубине одного из океанов, что позволит наглядно их сравнить.

Ответ: Нет, не имеет смысла использовать круговую диаграмму, так как средние глубины океанов не являются частями единого целого.

3 В таблице 19 есть данные об объёме водных запасов в каждом из пяти океанов. Имеет ли смысл использовать круговую диаграмму для графического изображения этих данных об объёмах воды?

Да, использовать круговую диаграмму для графического изображения данных об объёмах воды в пяти океанах имеет смысл.

Круговая диаграмма предназначена для того, чтобы показать структуру чего-либо целого, то есть наглядно продемонстрировать, какую долю каждая часть составляет от общей суммы. В данном случае, все пять океанов (Тихий, Атлантический, Индийский, Южный и Северный Ледовитый) вместе образуют единое целое — Мировой океан.

Следовательно, объём воды в каждом океане является частью общего объёма водных запасов Мирового океана. Построив круговую диаграмму, мы можем визуально сравнить доли, которые занимает каждый океан. Весь круг ($360^\circ$) будет представлять общий объём воды во всех океанах, а каждый сектор будет соответствовать доле конкретного океана. Угол сектора для каждого океана будет рассчитываться по формуле:

$ \alpha_{океан} = \frac{V_{океан}}{V_{общий}} \times 360^\circ $

где $V_{океан}$ — это объём воды в конкретном океане, а $V_{общий}$ — это суммарный объём воды во всех пяти океанах.

Такая диаграмма наглядно покажет, например, что Тихий океан составляет примерно половину всего Мирового океана, а доля Северного Ледовитого океана очень мала по сравнению с остальными. Это делает круговую диаграмму эффективным инструментом для визуализации такого рода данных.

Ответ: да, имеет, так как объёмы воды в каждом из пяти океанов являются частями одного целого — общего объёма Мирового океана.

4 Имеет ли смысл использовать круговую диаграмму для изображения долей мальчиков и девочек в вашем классе?

Да, использовать круговую диаграмму для изображения долей мальчиков и девочек в классе не только имеет смысл, но и является одним из наиболее подходящих и наглядных способов для этой задачи.

Круговая диаграмма предназначена для визуализации структуры некоего целого, то есть для демонстрации, из каких частей это целое состоит и какова доля каждой части. В данном случае:

— Целое — это все ученики в классе. Их общее количество принимается за 100%.

— Части целого — это две группы: мальчики и девочки.

Сумма количества мальчиков и девочек составляет общее число учеников, поэтому их доли в сумме всегда будут равны 100%. Это является основным условием для корректного применения круговой диаграммы. Диаграмма будет состоять из двух секторов, размер (центральный угол) каждого из которых будет пропорционален доле соответствующей группы.

Рассмотрим конкретный пример. Предположим, в классе 30 учеников, из них 12 мальчиков и 18 девочек.

1. Найдем долю (процент) каждой группы в общем количестве учеников:

Доля мальчиков: $ \frac{12}{30} = 0.4 $. В процентах это составляет $0.4 \times 100\% = 40\%$.

Доля девочек: $ \frac{18}{30} = 0.6 $. В процентах это составляет $0.6 \times 100\% = 60\%$.

Проверим, что сумма долей составляет 100%: $40\% + 60\% = 100\%$.

2. Для построения диаграммы рассчитаем, какую часть круга ($360^\circ$) займет каждый сектор:

Угол сектора для мальчиков: $360^\circ \times 0.4 = 144^\circ$.

Угол сектора для девочек: $360^\circ \times 0.6 = 216^\circ$.

Проверим, что сумма углов составляет полный круг: $144^\circ + 216^\circ = 360^\circ$.

В результате получится круговая диаграмма с двумя секторами. Сектор, представляющий мальчиков, будет занимать 40% площади круга, а сектор, представляющий девочек, — 60%. Такая визуализация позволяет мгновенно и интуитивно оценить соотношение мальчиков и девочек в классе.

Ответ: Да, имеет. Круговая диаграмма является очень подходящим инструментом для наглядного изображения соотношения частей (мальчиков и девочек) в общем целом (всех учениках класса).

5 Попробуйте сформулировать общее правило о том, когда лучше строить столб- ковую диаграмму, а когда — круговую.

Выбор между столбиковой и круговой диаграммой зависит от цели визуализации и характера самих данных. Ключевое различие заключается в том, что столбиковые диаграммы лучше всего подходят для сравнения величин, а круговые — для отображения долей в общей сумме.

Когда лучше строить столбиковую диаграмму

Столбиковая диаграмма является предпочтительным вариантом, когда необходимо сравнить числовые значения для разных категорий. Наш мозг легко сопоставляет высоту или длину столбцов, что позволяет быстро и точно определить, какая категория больше, а какая меньше.

Ее следует использовать для:

• Сравнения данных по разным группам. Например, сравнение объемов продаж разных продуктов, численности населения в разных городах или количества осадков по месяцам.

• Отслеживания изменений во времени. Если по одной оси отложены временные интервалы (дни, месяцы, годы), а по другой — значения, столбиковая диаграмма наглядно покажет динамику показателя.

• Работы с большим количеством категорий. Столбиковые диаграммы остаются читаемыми даже при наличии 10 и более категорий, в отличие от круговых.

• Отображения отрицательных значений, так как столбцы могут быть направлены вниз от нулевой оси.

Когда лучше строить круговую диаграмму

Круговая диаграмма используется для одной главной цели: показать, как некое целое делится на составные части. Она наглядно демонстрирует долю каждой категории в общем объеме, который принимается за 100%.

Ее следует использовать, если:

• Вы хотите показать состав чего-либо. Например, распределение голосов на выборах между кандидатами, состав семейного бюджета, результаты опроса (процент ответивших "за", "против", "воздержался").

• Все ваши части в сумме составляют значимое целое (100%). Если сумма категорий не является единым целым, использование круговой диаграммы некорректно и вводит в заблуждение.

• У вас немного категорий (идеально — от 2 до 5, максимум 7). При большем количестве секторов диаграмма становится перегруженной, и визуально сравнивать доли становится почти невозможно.

Общее правило для выбора

Чтобы сделать правильный выбор, задайте себе вопрос: "Какую историю я хочу рассказать с помощью данных?".

• Если история о сравнении показателей (что больше, что меньше, как изменилось) — ваш выбор столбиковая диаграмма.

• Если история о составе или структуре (какую долю от целого занимает каждый элемент) — ваш выбор круговая диаграмма, но только при соблюдении её ограничений.

Ответ: Общее правило таково: столбиковую диаграмму следует использовать для сравнения количественных показателей между различными категориями или для отслеживания их изменения во времени. Круговую диаграмму следует использовать только тогда, когда необходимо показать структуру целого, то есть долю (в процентах) каждой категории в общей сумме, которая равна 100%. При этом круговая диаграмма эффективна лишь при небольшом количестве категорий (не более 5–7).

30 На диаграмме 10 показаны данные о числе учебных и художественных книг русских и зарубежных авторов в школьной библиотеке. Сколько примерно учебных книг в библиотеке, если всего в библиотеке 800 книг?

Диаграмма 10. Школьный библиотечный фонд

Учебная литература

российских авторов

Учебная литература зарубежных авторов

Художественная литература

зарубежных авторов

Художественная литература

российских авторов

Для решения задачи необходимо оценить, какую долю на диаграмме занимают учебные книги, и затем найти соответствующее количество от общего числа книг в библиотеке, равного 800.

Учебная литература на диаграмме представлена двумя секторами:

• Учебная литература российских авторов (голубой сектор)
• Учебная литература зарубежных авторов (розовый сектор)

Оценка долей секторов

Проведем визуальную оценку долей, которые занимают секторы учебной литературы на круговой диаграмме:

• Сектор "Учебная литература российских авторов" (голубой) заметно больше четверти круга. Его долю можно оценить примерно в 35%.
• Сектор "Учебная литература зарубежных авторов" (розовый) — самый маленький. Его доля составляет примерно 5%.

Расчет общей доли учебной литературы

Чтобы найти общую долю всех учебных книг, необходимо сложить доли этих двух секторов:

$35\% + 5\% = 40\%$

Таким образом, учебные книги составляют примерно 40% от всего библиотечного фонда.

Расчет количества учебных книг

Теперь, зная общую долю и общее количество книг, можно вычислить примерное число учебных книг:

$800 \cdot \frac{40}{100} = 800 \cdot 0.4 = 320$

Следовательно, в библиотеке находится примерно 320 учебных книг.

Ответ: примерно 320 книг.

55 Симметричную монету бросили 4 раза. Орёл при этом может выпасть 1, 2, 3 или 4 раза, а может не выпасть ни разу. Вероятности этих событий даны в таблице 1.

Найдите вероятность события, противоположного событию:

а) «орёл не выпадет ни разу»;

б) «орёл выпадет более одного раза»;

в) «решка выпадет менее трёх раз»;

г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза».

Таблица 1. Вероятности выпадения 0, 1, 2, 3 и 4 орлов

Число орлов: 0, 1, 2, 3, 4

Вероятность: $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{16}$

Для решения задачи используется свойство противоположных событий. Если `A` — некоторое событие, то `Ā` — противоположное ему событие. Сумма их вероятностей всегда равна 1: `P(A) + P(Ā) = 1`. Следовательно, вероятность противоположного события можно найти по формуле: `P(Ā) = 1 - P(A)`.

а) «орёл не выпадет ни разу»

Пусть событие `A` заключается в том, что «орёл не выпадет ни разу». Это означает, что число выпавших орлов равно 0.Из таблицы находим вероятность этого события: `P(A) = P(0 \text{ орлов}) = \frac{1}{16}`.Событие, противоположное `A`, заключается в том, что «орёл выпадет хотя бы один раз» (то есть 1, 2, 3 или 4 раза). Найдём его вероятность:`P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}`.

Ответ: `\frac{15}{16}`

б) «орёл выпадет более одного раза»

Пусть событие `B` заключается в том, что «орёл выпадет более одного раза». Это означает, что орёл выпадет 2, 3 или 4 раза.Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов:`P(B) = P(2 \text{ орла}) + P(3 \text{ орла}) + P(4 \text{ орла}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}`.Приведём дроби к общему знаменателю 16:`P(B) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}`.Противоположное событие `B̄` — «орёл выпадет не более одного раза» (то есть 0 или 1 раз). Его вероятность равна:`P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}`.

Ответ: `\frac{5}{16}`

в) «решка выпадет менее трёх раз»

Пусть событие `C` заключается в том, что «решка выпадет менее трёх раз». Монету бросают 4 раза, поэтому количество решек плюс количество орлов всегда равно 4.Событие «решка выпадет менее трёх раз» (т.е. 0, 1 или 2 раза) означает, что орлов выпадет, соответственно, 4, 3 или 2 раза. Таким образом, событие `C` эквивалентно событию «орёл выпадет более одного раза» из пункта б).`P(C) = P(\text{более 1 орла}) = \frac{11}{16}`.Противоположное событие `C̄` — «решка выпадет три или более раза» (т.е. 3 или 4 раза). Это эквивалентно тому, что орлов выпадет 1 или 0 раз.Вероятность противоположного события равна:`P(C̄) = 1 - P(C) = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}`.Также можно было посчитать напрямую:`P(C̄) = P(0 \text{ орлов}) + P(1 \text{ орёл}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}`.

Ответ: `\frac{5}{16}`

г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза»

Пусть событие `D` заключается в том, что «орёл выпадет не два раза». Это означает, что число орлов равно 0, 1, 3 или 4.Противоположное событие `D̄` заключается в том, что «орёл выпадет ровно два раза».Вероятность этого противоположного события можно найти прямо из таблицы:`P(D̄) = P(2 \text{ орла}) = \frac{3}{8}`.

Ответ: `\frac{3}{8}`

56 Из класса выбирают двух учеников. Опишите словами событие $\bar{B}$, если событие $B$ состоит в том, что:

a) оба выбранных ученика — мальчики;

б) выбраны ученики одного пола.

В данной задаче требуется описать событие $ \bar{B} $, которое является противоположным (или дополнительным) к событию $ B $. Противоположное событие происходит в том и только в том случае, когда не происходит исходное событие.

а)

Исходное событие $ B $ состоит в том, что оба выбранных ученика — мальчики.

Противоположное событие $ \bar{B} $ наступит, если утверждение "оба выбранных ученика — мальчики" будет ложным. Это означает, что среди двух выбранных учеников окажется хотя бы одна девочка. Возможные исходы для события $ \bar{B} $:

1. Выбран один мальчик и одна девочка.
2. Выбраны две девочки.

Оба этих исхода можно описать одной фразой: "среди выбранных учеников есть по крайней мере одна девочка".

Ответ: Среди выбранных учеников есть хотя бы одна девочка.

б)

Исходное событие $ B $ состоит в том, что выбраны ученики одного пола. Это значит, что либо оба ученика — мальчики, либо оба — девочки.

Противоположное событие $ \bar{B} $ наступит, если утверждение "выбраны ученики одного пола" будет ложным. Единственная оставшаяся возможность — это когда ученики разного пола. То есть, был выбран один мальчик и одна девочка.

Ответ: Выбраны ученики разного пола.

57 В люстре пять новых лампочек. Опишите словами событие, противоположное событию:

a) «в течение года перегорит хотя бы одна из лампочек»;

б) «в течение года перегорят ровно две лампочки»;

в) «в течение года перегорит больше трёх лампочек»;

г) «в течение года перегорит меньше четырёх лампочек».

Для решения этой задачи нужно для каждого утверждения сформулировать его логическое отрицание. Общее количество лампочек в люстре — 5. Количество перегоревших лампочек за год может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5.

а) «в течение года перегорит хотя бы одна из лампочек»

Исходное событие означает, что количество перегоревших лампочек $k$ будет 1, 2, 3, 4 или 5. Математически это записывается как $k \ge 1$.
Противоположное событие — это когда исходное событие не происходит. Если неверно, что «перегорит хотя бы одна лампочка», это значит, что не перегорит ни одной лампочки. То есть, количество перегоревших лампочек равно нулю ($k=0$).
Ответ: в течение года не перегорит ни одной лампочки.

б) «в течение года перегорят ровно две лампочки»

Исходное событие означает, что количество перегоревших лампочек $k$ равно 2 ($k=2$).
Противоположное событие — это когда количество перегоревших лампочек не равно двум ($k \ne 2$). Это означает, что может перегореть 0, 1, 3, 4 или 5 лампочек.
Ответ: в течение года перегорит не две лампочки (то есть любое количество, кроме двух).

в) «в течение года перегорит больше трёх лампочек»

Исходное событие означает, что количество перегоревших лампочек $k$ больше 3 ($k > 3$). Поскольку всего лампочек 5, это значит, что перегорит 4 или 5 лампочек.
Противоположное событие — это когда количество перегоревших лампочек не больше трёх ($k \le 3$). Это означает, что может перегореть 0, 1, 2 или 3 лампочки.
Ответ: в течение года перегорит не больше трёх лампочек.

г) «в течение года перегорит меньше четырёх лампочек»

Исходное событие означает, что количество перегоревших лампочек $k$ меньше 4 ($k < 4$). Это означает, что может перегореть 0, 1, 2 или 3 лампочки.
Противоположное событие — это когда количество перегоревших лампочек не меньше четырёх ($k \ge 4$). Поскольку всего лампочек 5, это значит, что перегорит 4 или 5 лампочек.
Ответ: в течение года перегорит не меньше четырёх лампочек (то есть четыре или пять).