Страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

82 Бросают одну игральную кость. Событие $A$ — «выпало чётное число очков».

Событие $B$ — «выпало число очков, кратное пяти».

а) Являются ли события $A$ и $B$ несовместными?

б) Используя правило сложения вероятностей, найдите $P(A \cap B)$.

При броске одной игральной кости возможно 6 равновероятных исходов. Множество всех элементарных исходов: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событие $A$ — «выпало чётное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы: $A = \{2, 4, 6\}$.

Событие $B$ — «выпало число очков, кратное пяти». Этому событию благоприятствует исход: $B = \{5\}$.

а) Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$).

Найдем пересечение множеств исходов для событий $A$ и $B$:

$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{5\} = \emptyset$.

Так как пересечение событий $A$ и $B$ является пустым множеством, то эти события не могут наступить одновременно. Следовательно, они являются несовместными.

Ответ: да, события $A$ и $B$ являются несовместными.

б) Правило сложения вероятностей для двух событий имеет вид: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Поскольку события $A$ и $B$ несовместны (как установлено в пункте а), вероятность их пересечения равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

В этом случае правило сложения упрощается: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Найдем вероятности событий $A$ и $B$. Общее число исходов $n=6$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A$ (выпало 2, 4 или 6), равно $m_A = 3$.

Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Число исходов, благоприятствующих событию $B$ (выпало 5), равно $m_B = 1$.

Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{1}{6}$.

Теперь найдем вероятность объединения событий $A$ и $B$:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$.

83 События $U$ и $V$ несовместны. Найдите вероятность их объединения, если:

a) $P(U) = 0.2, P(V) = 0.4;$

б) $P(U) = 0.5, P(V) = 0.2.$

События $U$ и $V$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Вероятность их пересечения равна нулю: $P(U \cap V) = 0$.

Общая формула для вероятности объединения двух событий $U$ и $V$ выглядит так: $P(U \cup V) = P(U) + P(V) - P(U \cap V)$.

Поскольку для несовместных событий $P(U \cap V) = 0$, формула упрощается до суммы их вероятностей: $P(U \cup V) = P(U) + P(V)$

Используем эту формулу для решения задачи.

а)

Даны вероятности: $P(U) = 0,2$ и $P(V) = 0,4$.

Находим вероятность их объединения: $P(U \cup V) = P(U) + P(V) = 0,2 + 0,4 = 0,6$

Ответ: 0,6

б)

Даны вероятности: $P(U) = 0,5$ и $P(V) = 0,2$.

Находим вероятность их объединения: $P(U \cup V) = P(U) + P(V) = 0,5 + 0,2 = 0,7$

Ответ: 0,7

84 Могут ли события $A$ и $B$ быть несовместными, если:

а) $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$;

б) $P(A) = 0,1$, $P(B) = 0,7$;

в) $P(A) = a$, $P(B) = 1,2 - a$;

г) $P(A) = P(B) = 0,6?$

а) Два события A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Для таких событий вероятность их объединения (сумма событий A+B или A∪B) равна сумме их вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Основная аксиома теории вероятностей гласит, что вероятность любого события не может быть больше 1. Следовательно, для несовместных событий должно выполняться неравенство: $P(A) + P(B) \le 1$.
Проверим это условие для заданных вероятностей: $P(A) = 0,6$ и $P(B) = 0,5$.
$P(A) + P(B) = 0,6 + 0,5 = 1,1$.
Так как $1,1 > 1$, это означает, что события A и B не могут быть несовместными. Если бы они были несовместными, вероятность их объединения была бы больше 1, что невозможно.
Ответ: нет.

б) Проверим условие несовместности $P(A) + P(B) \le 1$ для данных $P(A) = 0,1$ и $P(B) = 0,7$.
$P(A) + P(B) = 0,1 + 0,7 = 0,8$.
Поскольку $0,8 \le 1$, условие выполняется. Это означает, что события A и B могут быть несовместными. Можно построить пример, где это так: пусть в урне 10 шаров, из них 1 белый, 7 черных и 2 красных. Событие A - "вынут белый шар", событие B - "вынут черный шар". Эти события несовместны, и их вероятности $P(A) = 1/10 = 0,1$ и $P(B) = 7/10 = 0,7$.
Ответ: да.

в) Проверим условие $P(A) + P(B) \le 1$ для $P(A) = a$ и $P(B) = 1,2 - a$.
Найдем сумму вероятностей:
$P(A) + P(B) = a + (1,2 - a) = 1,2$.
Сумма вероятностей равна $1,2$, что больше 1, независимо от значения параметра $a$. Следовательно, события A и B не могут быть несовместными.
(Дополнительно заметим, что для корректности задачи вероятности должны лежать в отрезке $[0, 1]$. Это накладывает ограничения на $a$: $0 \le a \le 1$ и $0 \le 1,2 - a \le 1$, откуда следует $0,2 \le a \le 1$. Но даже для этих значений $a$ вывод остается тем же).
Ответ: нет.

г) Проверим условие $P(A) + P(B) \le 1$ для $P(A) = P(B) = 0,6$.
$P(A) + P(B) = 0,6 + 0,6 = 1,2$.
Так как $1,2 > 1$, эти события не могут быть несовместными.
Ответ: нет.

85 Вычислите $P(A \cup B)$, если:

a) $P(A) = 0,8, P(B) = 0,6, P(A \cap B) = 0,4;$

б) $P(A) = 0,5, P(B) = 0,6, P(A \cap B) = 0,3.$

Для вычисления вероятности объединения двух событий $A$ и $B$, используется общая формула сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Эта формула учитывает, что при простом сложении вероятностей $P(A)$ и $P(B)$ вероятность их совместного наступления (пересечения $A \cap B$) учитывается дважды, поэтому ее необходимо вычесть один раз.

a)

Даны следующие вероятности:

$P(A) = 0,8$

$P(B) = 0,6$

$P(A \cap B) = 0,4$

Подставим эти значения в формулу сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = 0,8 + 0,6 - 0,4$

Выполним вычисления:

$P(A \cup B) = 1,4 - 0,4 = 1,0$

Ответ: $1,0$.

б)

Даны следующие вероятности:

$P(A) = 0,5$

$P(B) = 0,6$

$P(A \cap B) = 0,3$

Подставим эти значения в формулу сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = 0,5 + 0,6 - 0,3$

Выполним вычисления:

$P(A \cup B) = 1,1 - 0,3 = 0,8$

Ответ: $0,8$.

1 Что такое несовместные события в случайном опыте? Приведите пример несовместных событий в опыте, в котором монету бросают 2 раза.

Что такое несовместные события в случайном опыте?

Два случайных события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же случайного опыта. Это означает, что наступление одного из этих событий полностью исключает наступление другого.

На языке теории множеств это означает, что пересечение множеств исходов, благоприятствующих этим событиям, является пустым множеством. Если события $A$ и $B$ несовместны, то их пересечение $A \cap B = \emptyset$. Соответственно, вероятность их одновременного наступления равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

Ответ: Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в одном и том же испытании.

Приведите пример несовместных событий в опыте, в котором монету бросают 2 раза.

Рассмотрим случайный опыт, состоящий в двукратном подбрасывании монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». Все возможные исходы (элементарные события) этого опыта: ОО (оба раза выпал орел), ОР (сначала орел, потом решка), РО (сначала решка, потом орел), РР (оба раза выпала решка). Пространство элементарных исходов: $\Omega = \{ОО, ОР, РО, РР\}$.

Теперь определим два события. Событие $A$: «Выпало ровно два орла». Этому событию соответствует один исход: $\{ОО\}$. Событие $B$: «Выпало ровно две решки». Этому событию также соответствует один исход: $\{РР\}$.

События $A$ и $B$ являются несовместными, так как в результате двух бросков монеты не может одновременно выпасть и два орла, и две решки. У этих событий нет общих исходов, их пересечение пусто: $\{ОО\} \cap \{РР\} = \emptyset$.

Ответ: Пример несовместных событий при двукратном броске монеты: событие A — «выпало два орла» и событие B — «выпало две решки».

2 Сформулируйте словами правило сложения вероятностей для несовместных событий. Запишите формулу сложения вероятностей для несовместных событий.

$P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n)$

Для формулировки правила и записи формулы сперва необходимо дать определение несовместных событий.

Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. То есть, если произошло одно из них, то другое уже произойти не может. Например, при однократном броске игральной кости события «выпало 1 очко» и «выпало 6 очков» являются несовместными.

Сформулируйте словами правило сложения вероятностей для несовместных событий.

Вероятность суммы двух (или более) несовместных событий, то есть вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий, равна сумме их вероятностей.

Ответ: Вероятность наступления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Запишите формулу сложения вероятностей для несовместных событий.

Если события $A$ и $B$ являются несовместными, то вероятность того, что произойдет событие $A$ или событие $B$, обозначается как $P(A + B)$ или $P(A \cup B)$ и вычисляется по следующей формуле:

$P(A + B) = P(A) + P(B)$

Данная формула также известна как теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Для $n$ попарно несовместных событий $A_1, A_2, \dots, A_n$ формула обобщается следующим образом:

$P(A_1 + A_2 + \dots + A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$

Ответ: $P(A + B) = P(A) + P(B)$.

3 Как несовестные события изображаются на диаграммах Эйлера?

В теории вероятностей несовместными событиями называют такие события, которые не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. Появление одного из таких событий полностью исключает возможность появления другого.

Диаграммы Эйлера (часто их называют диаграммами Эйлера-Венна в контексте теории множеств) служат для визуального представления отношений между множествами. В теории вероятностей любое событие можно рассматривать как множество элементарных исходов, которые ему благоприятствуют.

На диаграмме Эйлера:

• Все возможное пространство элементарных исходов ($\Omega$) обычно изображается в виде большого прямоугольника.
• Каждое отдельное событие (например, событие A и событие B) изображается в виде фигуры, чаще всего круга или овала, внутри этого прямоугольника.
• Совместное наступление двух событий (их пересечение) представляется областью, где соответствующие им фигуры пересекаются.

Поскольку несовместные события не могут произойти одновременно, у них нет общих элементарных исходов. Это означает, что пересечение множеств, соответствующих этим событиям, является пустым множеством. Математически для двух несовместных событий A и B это записывается так: $A \cap B = \emptyset$

Соответственно, вероятность их одновременного наступления равна нулю: $P(A \cap B) = 0$

Исходя из этого, на диаграмме Эйлера несовместные события изображаются в виде фигур (кругов), которые не пересекаются и не имеют никаких общих точек. Они располагаются отдельно друг от друга внутри общего пространства элементарных исходов.

Пример: При броске игральной кости событие A — «выпало число меньше 3» (исходы 1, 2) и событие B — «выпало число больше 4» (исходы 5, 6) являются несовместными. На диаграмме Эйлера это будут два отдельных, непересекающихся круга.

Ответ: На диаграммах Эйлера несовместные события изображаются в виде непересекающихся фигур (кругов), у которых нет общих областей.

4 Запишите формулу сложения вероятностей для двух произвольных событий.

Формула сложения вероятностей для двух произвольных событий, также известная как теорема сложения вероятностей в общем виде, определяет вероятность наступления хотя бы одного из этих событий.

Пусть даны два произвольных (то есть, возможно, совместных) события $A$ и $B$. Событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$, называется их суммой (или объединением) и обозначается как $A+B$ или $A \cup B$.

Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного наступления (пересечения). Формула имеет следующий вид:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

или, в другой принятой записи:

$$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

Где:

• $P(A \cup B)$ (или $P(A+B)$) — это вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий $A$ или $B$.
• $P(A)$ — вероятность наступления события $A$.
• $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.
• $P(A \cap B)$ (или $P(AB)$) — вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$.

Смысл вычитания вероятности пересечения $P(A \cap B)$ заключается в том, что при простом сложении $P(A) + P(B)$ исходы, благоприятные и событию $A$, и событию $B$ (то есть их пересечение), учитываются дважды. Вычитая вероятность их совместного появления, мы корректируем этот двойной счёт. Это является проявлением принципа включений-исключений.

Данная формула является общей. В частном случае, если события $A$ и $B$ являются несовместными (то есть не могут произойти одновременно), то их пересечение является невозможным событием, и, следовательно, $P(A \cap B) = 0$. Тогда формула упрощается до формулы сложения вероятностей для несовместных событий:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Ответ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (или $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$).