Номер 84, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

84 Могут ли события $A$ и $B$ быть несовместными, если:

а) $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$;

б) $P(A) = 0,1$, $P(B) = 0,7$;

в) $P(A) = a$, $P(B) = 1,2 - a$;

г) $P(A) = P(B) = 0,6?$

а) Два события A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Для таких событий вероятность их объединения (сумма событий A+B или A∪B) равна сумме их вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Основная аксиома теории вероятностей гласит, что вероятность любого события не может быть больше 1. Следовательно, для несовместных событий должно выполняться неравенство: $P(A) + P(B) \le 1$.
Проверим это условие для заданных вероятностей: $P(A) = 0,6$ и $P(B) = 0,5$.
$P(A) + P(B) = 0,6 + 0,5 = 1,1$.
Так как $1,1 > 1$, это означает, что события A и B не могут быть несовместными. Если бы они были несовместными, вероятность их объединения была бы больше 1, что невозможно.
Ответ: нет.

б) Проверим условие несовместности $P(A) + P(B) \le 1$ для данных $P(A) = 0,1$ и $P(B) = 0,7$.
$P(A) + P(B) = 0,1 + 0,7 = 0,8$.
Поскольку $0,8 \le 1$, условие выполняется. Это означает, что события A и B могут быть несовместными. Можно построить пример, где это так: пусть в урне 10 шаров, из них 1 белый, 7 черных и 2 красных. Событие A - "вынут белый шар", событие B - "вынут черный шар". Эти события несовместны, и их вероятности $P(A) = 1/10 = 0,1$ и $P(B) = 7/10 = 0,7$.
Ответ: да.

в) Проверим условие $P(A) + P(B) \le 1$ для $P(A) = a$ и $P(B) = 1,2 - a$.
Найдем сумму вероятностей:
$P(A) + P(B) = a + (1,2 - a) = 1,2$.
Сумма вероятностей равна $1,2$, что больше 1, независимо от значения параметра $a$. Следовательно, события A и B не могут быть несовместными.
(Дополнительно заметим, что для корректности задачи вероятности должны лежать в отрезке $[0, 1]$. Это накладывает ограничения на $a$: $0 \le a \le 1$ и $0 \le 1,2 - a \le 1$, откуда следует $0,2 \le a \le 1$. Но даже для этих значений $a$ вывод остается тем же).
Ответ: нет.

г) Проверим условие $P(A) + P(B) \le 1$ для $P(A) = P(B) = 0,6$.
$P(A) + P(B) = 0,6 + 0,6 = 1,2$.
Так как $1,2 > 1$, эти события не могут быть несовместными.
Ответ: нет.