Номер 78, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

78 Докажите, что $P(A \cap B) \leq P(A)$ и $P(A \cap B) \leq P(B)$.

Событие $A$ можно представить в виде объединения двух несовместных (взаимоисключающих) событий:

1. Событие, состоящее в том, что происходят и $A$, и $B$. Это пересечение $A \cap B$.
2. Событие, состоящее в том, что происходит $A$, но не происходит $B$. Это пересечение $A$ с дополнением $B$, то есть $A \cap B^c$.

Таким образом, событие $A$ является объединением этих двух событий:$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^c)$.

Эти два события, $(A \cap B)$ и $(A \cap B^c)$, являются несовместными, поскольку их пересечение пусто. Иными словами, не может одновременно произойти событие $B$ и его дополнение $B^c$.$(A \cap B) \cap (A \cap B^c) = A \cap (B \cap B^c) = A \cap \emptyset = \emptyset$.

Согласно аксиоме аддитивности вероятностей, для любых двух несовместных событий вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. Применим это к нашему случаю:$P(A) = P((A \cap B) \cup (A \cap B^c)) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$.

По одной из основных аксиом теории вероятностей, вероятность любого события является неотрицательной величиной. Следовательно, $P(A \cap B^c) \ge 0$.

Из равенства $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ и условия $P(A \cap B^c) \ge 0$ следует, что$P(A) \ge P(A \cap B)$.Это доказывает требуемое неравенство.

Ответ: Неравенство $P(A \cap B) \le P(A)$ доказано.

Доказательство этого неравенства полностью аналогично предыдущему. Представим событие $B$ как объединение двух несовместных событий:

1. Событие, состоящее в том, что происходят и $A$, и $B$. Это пересечение $A \cap B$.
2. Событие, состоящее в том, что происходит $B$, но не происходит $A$. Это пересечение $B$ с дополнением $A$, то есть $B \cap A^c$.

Таким образом, $B = (A \cap B) \cup (B \cap A^c)$. (Мы использовали коммутативность пересечения: $B \cap A = A \cap B$).

События $(A \cap B)$ и $(B \cap A^c)$ несовместны, так как их пересечение пусто:$(A \cap B) \cap (B \cap A^c) = B \cap (A \cap A^c) = B \cap \emptyset = \emptyset$.

Применяя аксиому аддитивности для несовместных событий, получаем:$P(B) = P((A \cap B) \cup (B \cap A^c)) = P(A \cap B) + P(B \cap A^c)$.

Так как вероятность любого события неотрицательна, то $P(B \cap A^c) \ge 0$.

Из этого следует, что $P(B) \ge P(A \cap B)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $P(A \cap B) \le P(B)$ доказано.