Номер 75, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

75 Игральную кость бросают дважды. Событие $A$ — «в первый раз выпадет меньше 3 очков». Событие $B$ — «во второй раз выпадет больше 4 очков».

a) В таблице этого опыта укажите элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$.

б) Найдите $P(A \cap B)$.

а)

Опыт состоит в двукратном бросании игральной кости. Общее число всех возможных элементарных исходов этого опыта равно $6 \times 6 = 36$. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — число очков, выпавшее при первом броске, а $y$ — число очков, выпавшее при втором броске.

Событие A — «в первый раз выпадет меньше 3 очков». Это означает, что результат первого броска $x$ может быть равен 1 или 2.

Событие B — «во второй раз выпадет больше 4 очков». Это означает, что результат второго броска $y$ может быть равен 5 или 6.

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что должны произойти оба события одновременно: результат первого броска меньше 3, И результат второго броска больше 4.

Таким образом, нам нужно найти все пары $(x, y)$, для которых $x \in \{1, 2\}$ и $y \in \{5, 6\}$. Такими элементарными событиями являются: (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6).

В таблице всех возможных исходов эти события (благоприятствующие $A \cap B$) выделены цветом:

Ответ: Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$: (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6).

б)

Вероятность события $P(A \cap B)$ находится по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число исходов при двух бросках кости: $n = 36$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, как мы нашли в пункте а), равно 4. То есть, $m = 4$.

Следовательно, вероятность события $A \cap B$ равна: $P(A \cap B) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

Другой способ — использовать независимость событий A и B. Вероятность события A (при первом броске выпало меньше 3, т.е. 1 или 2) равна $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Вероятность события B (при втором броске выпало больше 4, т.е. 5 или 6) равна $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Так как броски независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$.