Номер 71, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

71 Игральную кость бросают 2 раза. Событие $K$ — «в первый раз выпадает чётное число очков». Событие $L$ — «при втором броске выпадает чётное число очков».

а) Выделите в таблице элементарные события, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий $K$ и $L$. Сколько их?

б) Опишите словами событие $K \cup L$.

в) Найдите вероятность события $K \cup L$.

При двукратном броске игральной кости всего возможно $6 \times 6 = 36$ равновероятных элементарных исходов. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(i, j)$, где $i$ — число очков, выпавшее при первом броске, а $j$ — число очков, выпавшее при втором броске.

Событие $K$ — «в первый раз выпадает чётное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы, у которых первая координата — чётное число (2, 4 или 6).

Событие $L$ — «при втором броске выпадает чётное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы, у которых вторая координата — чётное число (2, 4 или 6).

а) Выделите в таблице элементарные события, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий K и L. Сколько их?

Событию «благоприятствуют хотя бы одному из событий K и L» соответствует объединение событий $K \cup L$. Это означает, что в паре $(i, j)$ хотя бы одно из чисел должно быть чётным. В таблице ниже все такие элементарные события выделены жирным шрифтом.

Посчитаем количество выделенных ячеек. В строках с номерами 2, 4, 6 все 6 исходов благоприятные (всего $3 \times 6 = 18$). В строках с номерами 1, 3, 5 благоприятными являются по 3 исхода (с чётным вторым числом), всего $3 \times 3 = 9$.

Общее число благоприятных событий: $18 + 9 = 27$.

Также можно было найти число неблагоприятных исходов (когда оба числа нечётные: 1, 3, 5). Таких исходов $3 \times 3 = 9$. Тогда число благоприятных исходов равно $36 - 9 = 27$.

Ответ: 27 элементарных событий.

б) Опишите словами событие $K \cup L$.

Событие $K \cup L$ (объединение событий $K$ и $L$) означает, что произойдёт хотя бы одно из этих событий: либо событие $K$, либо событие $L$, либо оба вместе.

$K$ — «в первый раз выпадет чётное число очков».

$L$ — «при втором броске выпадет чётное число очков».

Таким образом, событие $K \cup L$ можно описать словами: «хотя бы при одном из двух бросков выпадет чётное число очков».

Ответ: Событие $K \cup L$ означает, что «хотя бы при одном из двух бросков выпадет чётное число очков».

в) Найдите вероятность события $K \cup L$.

Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В нашем случае, событие $A = K \cup L$.

Общее число элементарных исходов $n = 36$.

Число исходов, благоприятствующих событию $K \cup L$, как мы нашли в пункте а), равно $m = 27$.

Тогда вероятность события $K \cup L$ равна: $P(K \cup L) = \frac{27}{36}$

Сократим дробь на 9: $P(K \cup L) = \frac{27 \div 9}{36 \div 9} = \frac{3}{4}$

Вероятность также можно найти по формуле сложения вероятностей: $P(K \cup L) = P(K) + P(L) - P(K \cap L)$. $P(K) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. $P(L) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. $P(K \cap L)$ — вероятность, что оба раза выпадет чётное число. Так как броски независимы, $P(K \cap L) = P(K) \times P(L) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. $P(K \cup L) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $P(K \cup L) = \frac{3}{4}$.