Номер 67, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

67 Из класса случайным образом последовательно выбирают двух учеников. Событие A — «первый выбранный ученик — девочка». Опишите словами объединение и пересечение событий A и B, если событие B:

a) «среди выбранных учеников есть только одна девочка»;

б) «второй выбранный ученик — мальчик».

Обозначим событие выбора девочки буквой Д, а выбора мальчика — М. Поскольку учеников выбирают последовательно, важен порядок. Возможные исходы выбора двух учеников — это упорядоченные пары: (Д, Д), (Д, М), (М, Д), (М, М).

Событие $A$ — «первый выбранный ученик — девочка». Этому событию соответствуют исходы, у которых на первом месте стоит Д. Таким образом, $A = \{ (Д, Д), (Д, М) \}$.

а)

Событие $B$ в данном случае — «среди выбранных учеников есть только одна девочка». Этому событию соответствуют исходы, в которых есть ровно одна буква Д: $B = \{ (Д, М), (М, Д) \}$.

Объединение событий $A \cup B$ — это событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$. Оно включает в себя все исходы, принадлежащие хотя бы одному из множеств $A$ или $B$.

$A \cup B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cup \{ (Д, М), (М, Д) \} = \{ (Д, Д), (Д, М), (М, Д) \}$.

Это множество исходов означает, что среди двух выбранных учеников есть как минимум одна девочка (единственный исход, который не вошел в объединение — (М, М), т.е. выбраны два мальчика). Следовательно, словесное описание объединения: «среди выбранных учеников есть хотя бы одна девочка».

Пересечение событий $A \cap B$ — это событие, которое происходит, если происходят оба события $A$ и $B$ одновременно. Оно включает в себя исходы, принадлежащие обоим множествам $A$ и $B$.

$A \cap B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cap \{ (Д, М), (М, Д) \} = \{ (Д, М) \}$.

Этот исход означает, что первый выбранный ученик — девочка (выполнение события $A$) и второй выбранный ученик — мальчик (это необходимо, чтобы в паре была только одна девочка — выполнение события $B$). Следовательно, словесное описание пересечения: «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».

Ответ: Объединение событий $A$ и $B$ — «среди выбранных учеников есть хотя бы одна девочка». Пересечение событий $A$ и $B$ — «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».

б)

Событие $B$ в данном случае — «второй выбранный ученик — мальчик». Этому событию соответствуют исходы, у которых на втором месте стоит М: $B = \{ (Д, М), (М, М) \}$.

Объединение событий $A \cup B$ — это событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий $A$ или $B$.

$A \cup B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cup \{ (Д, М), (М, М) \} = \{ (Д, Д), (Д, М), (М, М) \}$.

Это событие происходит, если выполняется условие «первый ученик — девочка» (исходы (Д, Д) и (Д, М)) или условие «второй ученик — мальчик» (исходы (Д, М) и (М, М)). Это и есть его наиболее точное словесное описание. Следовательно, словесное описание объединения: «первый выбранный ученик — девочка, или второй выбранный ученик — мальчик».

Пересечение событий $A \cap B$ — это событие, которое происходит, если происходят оба события $A$ и $B$ одновременно.

$A \cap B = \{ (Д, Д), (Д, М) \} \cap \{ (Д, М), (М, М) \} = \{ (Д, М) \}$.

Этот исход означает, что должен быть выбран первым учеником девочка (событие $A$) и вторым учеником мальчик (событие $B$). Следовательно, словесное описание пересечения: «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».

Ответ: Объединение событий $A$ и $B$ — «первый выбранный ученик — девочка, или второй выбранный ученик — мальчик». Пересечение событий $A$ и $B$ — «первый выбранный ученик — девочка, а второй — мальчик».