Номер 69, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

69 Игральную кость бросают дважды. Событие $A$ — «при первом броске выпадет единица». Событие $B$ — «при втором броске выпадет единица».

а) Укажите в таблице этого случайного опыта все элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$.

б) Сколько у событий $A$ и $B$ общих благоприятствующих элементарных событий?

в) Опишите словами событие $A \cup B$.

г) Найдите вероятность события $A \cup B$.

а) Укажите в таблице этого случайного опыта все элементарные события, благоприятствующие событию A∪B.

Случайный опыт состоит в двукратном бросании игральной кости. Каждый элементарный исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго броска. Всего существует $6 \times 6 = 36$ таких исходов.

Событие $A$ — «при первом броске выпадет единица». Ему благоприятствуют исходы, у которых первая координата равна 1: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$.

Событие $B$ — «при втором броске выпадет единица». Ему благоприятствуют исходы, у которых вторая координата равна 1: $(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)$.

Событие $A \cup B$ (объединение событий $A$ и $B$) означает, что произойдет хотя бы одно из этих событий: либо при первом броске выпадет единица, либо при втором, либо на обоих сразу. Благоприятствующие этому событию исходы — это все исходы, входящие в $A$ или в $B$.

В таблице ниже показаны все 36 возможных исходов. Благоприятствующие событию $A \cup B$ выделены жирным шрифтом.

Ответ: Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cup B$: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1).

б) Сколько у событий A и B общих благоприятствующих элементарных событий?

Общие благоприятствующие элементарные события — это исходы, которые благоприятствуют и событию $A$, и событию $B$ одновременно. Это соответствует пересечению событий $A \cap B$.

Событие $A \cap B$ означает, что «при первом броске выпала единица» и «при втором броске выпала единица».

Этому условию удовлетворяет только один элементарный исход: (1, 1).

Ответ: У событий A и B одно общее благоприятствующее элементарное событие.

в) Опишите словами событие A∪B.

Событие $A \cup B$ является объединением событий $A$ («при первом броске выпадет единица») и $B$ («при втором броске выпадет единица»).

Это означает, что произойдет или событие $A$, или событие $B$, или оба вместе. Словесно это можно описать так: «при первом броске выпала единица, или при втором броске выпала единица». Более коротко и точно это событие можно описать как «хотя бы раз выпала единица».

Ответ: Событие $A \cup B$ означает, что при двух бросках игральной кости хотя бы один раз выпадет единица.

г) Найдите вероятность события A∪B.

Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число исходов при двух бросках кости: $n = 6 \times 6 = 36$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cup B$, мы посчитали в пункте а). Это все исходы, где есть хотя бы одна единица. Их количество $m = 11$.

Таким образом, вероятность события $A \cup B$ равна:

$P(A \cup B) = \frac{m}{n} = \frac{11}{36}$

Также вероятность можно найти по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Вероятность события $A$ (на первом броске 1): $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Вероятность события $B$ (на втором броске 1): $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Вероятность события $A \cap B$ (на обоих бросках 1): $P(A \cap B) = \frac{1}{36}$.

Тогда $P(A \cup B) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36}$.

Ответ: $P(A \cup B) = \frac{11}{36}$.