Номер 72, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

72 Докажите, что для любых событий A и B верны неравенства

$P(A \cup B) \ge P(A)$ и $P(A \cup B) \ge P(B)$.

$P(A \cup B) \ge P(A)$
Для доказательства данного неравенства воспользуемся определением объединения событий и свойством монотонности вероятности.
Событие $A \cup B$ (объединение событий A и B) происходит тогда, когда происходит хотя бы одно из событий: A или B. Это означает, что любой элементарный исход, при котором наступает событие A, также является исходом, при котором наступает событие $A \cup B$.
Таким образом, событие A является подмножеством события $A \cup B$. В терминах теории множеств это записывается как $A \subseteq (A \cup B)$.
Согласно свойству монотонности вероятности, если событие $E$ является подмножеством события $F$ ($E \subseteq F$), то вероятность события $E$ не превышает вероятность события $F$, то есть $P(E) \le P(F)$.
Применяя это свойство к нашему случаю, из того, что $A \subseteq (A \cup B)$, напрямую следует, что $P(A) \le P(A \cup B)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

$P(A \cup B) \ge P(B)$
Доказательство этого неравенства полностью аналогично предыдущему.
Любой элементарный исход, благоприятствующий событию B, также благоприятствует и событию $A \cup B$.
Следовательно, событие B является подмножеством события $A \cup B$, что записывается как $B \subseteq (A \cup B)$.
По свойству монотонности вероятности, из $B \subseteq (A \cup B)$ следует, что $P(B) \le P(A \cup B)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.