Номер 70, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

70 Игральную кость бросают дважды. Событие $U$ — «в первый раз выпадет число очков, кратное трём». Событие $V$ — «во второй раз выпадет число очков, кратное трём».

а) В таблице элементарных событий этого опыта выделите элементарные события, благоприятствующие одновременно событию $U$ и событию $V$.

б) Опишите словами событие $U \cup V$.

в) Найдите вероятность события $U \cup V$.

а)

Всего при двух бросках игральной кости существует $6 \times 6 = 36$ элементарных событий. Каждое событие можно представить в виде пары чисел $(i, j)$, где $i$ — результат первого броска, а $j$ — результат второго.

Событие $U$ («в первый раз выпадет число очков, кратное трём») происходит, когда число очков первого броска $i \in \{3, 6\}$.
Событие $V$ («во второй раз выпадет число очков, кратное трём») происходит, когда число очков второго броска $j \in \{3, 6\}$.

События $U$ и $V$ происходят одновременно, если результат первого броска кратен трём, и результат второго броска кратен трём. Это соответствует элементарным событиям, где $i \in \{3, 6\}$ и $j \in \{3, 6\}$.

Такими элементарными событиями являются: (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6).

Выделим эти события в таблице всех элементарных событий (строки соответствуют первому броску, столбцы — второму):

Ответ: Элементарные события, благоприятствующие одновременному наступлению событий $U$ и $V$: (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6).

б)

Событие $U \cup V$ представляет собой объединение событий $U$ и $V$. Это означает, что должно произойти хотя бы одно из этих событий: либо событие $U$, либо событие $V$, либо оба вместе.

Событие $U$: «в первый раз выпадет число очков, кратное трём».
Событие $V$: «во второй раз выпадет число очков, кратное трём».

Следовательно, событие $U \cup V$ можно описать словами: «хотя бы при одном из двух бросков выпадет число очков, кратное трём».

Ответ: Событие $U \cup V$ означает, что хотя бы при одном из двух бросков выпадет число очков, кратное трём.

в)

Вероятность события $U \cup V$ можно найти по формуле сложения вероятностей для совместных событий: $P(U \cup V) = P(U) + P(V) - P(U \cap V)$.

1. Найдём вероятность события $U$.
Числа на игральной кости, кратные трём: 3 и 6. Всего таких чисел 2 из 6 возможных.
Вероятность выпадения числа, кратного трём, при одном броске равна $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Событие $U$ зависит только от первого броска, поэтому его вероятность $P(U) = \frac{1}{3}$.

2. Найдём вероятность события $V$.
Событие $V$ зависит только от второго броска. Аналогично, его вероятность $P(V) = \frac{1}{3}$.

3. Найдём вероятность события $U \cap V$ (пересечение событий $U$ и $V$).
Это событие означает, что и при первом, и при втором броске выпадет число очков, кратное трём. Так как броски являются независимыми событиями, вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
$P(U \cap V) = P(U) \times P(V) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

4. Теперь вычислим искомую вероятность события $U \cup V$:
$P(U \cup V) = P(U) + P(V) - P(U \cap V) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.