Номер 81, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

81 С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство:

a) $\overline{A}\cap \overline{B} = \overline{A \cup B};$

б) $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.$

Указание. Для доказательства нужно изобразить оба события на диаграмме Эйлера. Если изображения совпадают, то совпадают и события.

Для доказательства этого равенства с помощью диаграмм Эйлера изобразим левую и правую части на отдельных диаграммах и сравним полученные области.

1. Рассмотрим левую часть: $\overline{A} \cap \overline{B}$.
На диаграмме Эйлера множество $\overline{A}$ (дополнение к A) представляет собой всю область вне множества A. Аналогично, $\overline{B}$ — это вся область вне множества B. Пересечение этих двух дополнений, $\overline{A} \cap \overline{B}$, — это область, которая находится одновременно и вне A, и вне B. Таким образом, это область вне объединения множеств A и B.

2. Рассмотрим правую часть: $\overline{A \cup B}$.
Объединение $A \cup B$ — это область, занимаемая хотя бы одним из множеств, A или B. Дополнение к этому объединению, $\overline{A \cup B}$, — это вся область, которая не принадлежит $A \cup B$. То есть, это область вне обоих множеств.

Поскольку заштрихованные области для левой и правой частей равенства совпадают (в обоих случаях это область вне множеств A и B), то равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем это равенство аналогично, сравнивая изображения левой и правой частей на диаграммах Эйлера.

1. Рассмотрим левую часть: $\overline{A} \cup \overline{B}$.
Как и в предыдущем пункте, $\overline{A}$ — это область вне A, а $\overline{B}$ — область вне B. Объединение этих двух областей, $\overline{A} \cup \overline{B}$, включает в себя все точки, которые находятся либо вне A, либо вне B, либо и там, и там. Единственная область, которая не заштрихована, — это та, что находится одновременно и внутри A, и внутри B. Эта область является пересечением $A \cap B$. Таким образом, $\overline{A} \cup \overline{B}$ — это всё, кроме $A \cap B$.

2. Рассмотрим правую часть: $\overline{A \cap B}$.
Пересечение $A \cap B$ — это общая часть множеств A и B. Дополнение к этому пересечению, $\overline{A \cap B}$, — это вся область, за исключением их общей части.

Поскольку заштрихованные области для левой и правой частей равенства совпадают (в обоих случаях это вся область, кроме пересечения $A \cap B$), то равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.