Номер 82, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

82 Бросают одну игральную кость. Событие $A$ — «выпало чётное число очков».

Событие $B$ — «выпало число очков, кратное пяти».

а) Являются ли события $A$ и $B$ несовместными?

б) Используя правило сложения вероятностей, найдите $P(A \cap B)$.

При броске одной игральной кости возможно 6 равновероятных исходов. Множество всех элементарных исходов: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Событие $A$ — «выпало чётное число очков». Этому событию благоприятствуют исходы: $A = \{2, 4, 6\}$.

Событие $B$ — «выпало число очков, кратное пяти». Этому событию благоприятствует исход: $B = \{5\}$.

а) Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$).

Найдем пересечение множеств исходов для событий $A$ и $B$:

$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{5\} = \emptyset$.

Так как пересечение событий $A$ и $B$ является пустым множеством, то эти события не могут наступить одновременно. Следовательно, они являются несовместными.

Ответ: да, события $A$ и $B$ являются несовместными.

б) Правило сложения вероятностей для двух событий имеет вид: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Поскольку события $A$ и $B$ несовместны (как установлено в пункте а), вероятность их пересечения равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

В этом случае правило сложения упрощается: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Найдем вероятности событий $A$ и $B$. Общее число исходов $n=6$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A$ (выпало 2, 4 или 6), равно $m_A = 3$.

Вероятность события $A$: $P(A) = \frac{m_A}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Число исходов, благоприятствующих событию $B$ (выпало 5), равно $m_B = 1$.

Вероятность события $B$: $P(B) = \frac{m_B}{n} = \frac{1}{6}$.

Теперь найдем вероятность объединения событий $A$ и $B$:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$.