Номер 4, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 Запишите формулу сложения вероятностей для двух произвольных событий.

Формула сложения вероятностей для двух произвольных событий, также известная как теорема сложения вероятностей в общем виде, определяет вероятность наступления хотя бы одного из этих событий.

Пусть даны два произвольных (то есть, возможно, совместных) события $A$ и $B$. Событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$, называется их суммой (или объединением) и обозначается как $A+B$ или $A \cup B$.

Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного наступления (пересечения). Формула имеет следующий вид:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

или, в другой принятой записи:

$$P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

Где:

• $P(A \cup B)$ (или $P(A+B)$) — это вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий $A$ или $B$.
• $P(A)$ — вероятность наступления события $A$.
• $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.
• $P(A \cap B)$ (или $P(AB)$) — вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$.

Смысл вычитания вероятности пересечения $P(A \cap B)$ заключается в том, что при простом сложении $P(A) + P(B)$ исходы, благоприятные и событию $A$, и событию $B$ (то есть их пересечение), учитываются дважды. Вычитая вероятность их совместного появления, мы корректируем этот двойной счёт. Это является проявлением принципа включений-исключений.

Данная формула является общей. В частном случае, если события $A$ и $B$ являются несовместными (то есть не могут произойти одновременно), то их пересечение является невозможным событием, и, следовательно, $P(A \cap B) = 0$. Тогда формула упрощается до формулы сложения вероятностей для несовместных событий:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Ответ: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (или $P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)$).