Номер 91, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

91 Пользуясь диаграммой Эйлера для событий A, B и C, выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).$

Для вывода формулы сложения вероятностей для трёх событий A, B и C воспользуемся диаграммами Эйлера, где вероятность события геометрически представляется площадью соответствующей фигуры. Вероятность объединения событий $P(A \cup B \cup C)$ — это общая площадь, занимаемая фигурами, соответствующими событиям A, B и C.

Вывод формулы основан на принципе включений-исключений, который можно продемонстрировать с помощью диаграммы:

1. Сначала сложим вероятности всех трёх событий: $P(A) + P(B) + P(C)$. При таком сложении площади, соответствующие пересечениям событий, будут учтены несколько раз. В частности, площади попарных пересечений ($A \cap B$, $A \cap C$, $B \cap C$) будут учтены дважды, а площадь тройного пересечения ($A \cap B \cap C$) — трижды.

2. Чтобы устранить это избыточное суммирование, вычтем вероятности попарных пересечений: $P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C)$. После этого шага области, где пересекаются ровно два события, будут учтены корректно (один раз). Однако область тройного пересечения ($A \cap B \cap C$) была сначала добавлена трижды (с $P(A)$, $P(B)$ и $P(C)$), а затем вычтена трижды (как часть каждого попарного пересечения). В результате она оказывается полностью исключённой из подсчёта ($3-3=0$).

3. Поскольку область $A \cap B \cap C$ является частью объединения, её вероятность должна быть учтена. Так как на предыдущем шаге мы её полностью исключили, её необходимо снова добавить. Это и завершает вывод формулы.

Ответ: $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$.