Номер 90, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

90 Пользуясь диаграммой Эйлера, докажите, что несовместны события:

а) $\overline{A}$ и $A \cap B$;

б) $A \cap B$ и $A \cap \overline{B}$.

Два события являются несовместными, если они не могут произойти одновременно. На языке теории множеств это означает, что их пересечение является пустым множеством ($ \emptyset $). Докажем это для каждой пары событий с помощью диаграммы Эйлера (диаграммы Венна).

а)
Рассмотрим события $\overline{A}$ и $A \cap B$.
На диаграмме Эйлера событие $A \cap B$ — это область, принадлежащая одновременно множествам A и B (их общая часть). Важно, что вся эта область является частью множества A.
Событие $\overline{A}$ (дополнение к A) — это вся область, которая не принадлежит множеству A.
Поскольку область $A \cap B$ целиком находится внутри A, а область $\overline{A}$ целиком находится вне A, у этих двух областей нет и не может быть общих точек. Их пересечение пусто.
Формально: $(\overline{A}) \cap (A \cap B) = \emptyset$.
Следовательно, события $\overline{A}$ и $A \cap B$ несовместны.
Ответ: События несовместны, так как область $A \cap B$ является подмножеством $A$, а $\overline{A}$ — это все, что не входит в $A$, поэтому их пересечение пусто.

б)
Рассмотрим события $A \cap B$ и $\overline{A \cap B}$.
Обозначим событие $C = A \cap B$. Тогда второе событие будет его дополнением, то есть $\overline{C}$.
На диаграмме Эйлера $C = A \cap B$ — это область пересечения множеств A и B.
Событие $\overline{C} = \overline{A \cap B}$ по определению является дополнением к событию $C$. Это означает, что оно содержит все исходы, которые не принадлежат $C$. На диаграмме это вся область за пределами пересечения $A \cap B$.
По определению дополнения, множество и его дополнение никогда не имеют общих элементов. Их пересечение всегда является пустым множеством.
Формально: $(A \cap B) \cap (\overline{A \cap B}) = \emptyset$.
Следовательно, события $A \cap B$ и $\overline{A \cap B}$ несовместны.
Ответ: События несовместны, так как одно событие является дополнением другого, а пересечение любого события с его дополнением по определению является пустым множеством.