Номер 88, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

88 В банке рядом друг с другом стоят два банкомата — старый и новый. Вероятность того, что в течение дня в старом банкомате закончатся денежные купюры, равна 0,2. Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомате, равна 0,1. В двух банкоматах купюры могут закончиться с вероятностью 0,05. Найдите вероятность события:

а) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»;

б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»;

в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»;

г) «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов».

Для решения задачи введем обозначения для событий:

• Событие A: «в течение дня в старом банкомате закончатся денежные купюры».
• Событие B: «в течение дня в новом банкомате закончатся денежные купюры».

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что купюры закончатся в старом банкомате: $P(A) = 0,2$.
• Вероятность того, что купюры закончатся в новом банкомате: $P(B) = 0,1$.
• Вероятность того, что купюры закончатся в обоих банкоматах одновременно (совместное событие): $P(A \cap B) = 0,05$.

а) «в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов»

Это событие означает, что произойдет или событие A, или событие B, или оба вместе. В теории вероятностей это соответствует объединению событий A и B, то есть событию $A \cup B$. Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения:

$P(A \cup B) = 0,2 + 0,1 - 0,05 = 0,25$

Ответ: 0,25

б) «в течение дня купюры не закончатся ни в одном из банкоматов»

Это событие является противоположным (дополнительным) к событию из пункта (а), то есть к событию «купюры закончатся хотя бы в одном из банкоматов». Если событие из пункта (а) мы обозначили как $A \cup B$, то искомое событие будет $\overline{A \cup B}$. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность исходного события:

$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$

Используя результат из пункта (а):

$P(\overline{A \cup B}) = 1 - 0,25 = 0,75$

Ответ: 0,75

в) «в течение дня купюры закончатся только в старом банкомате»

Это событие означает, что событие A (купюры закончились в старом банкомате) произойдет, а событие B (купюры закончились в новом банкомате) не произойдет. Обозначим событие, что купюры не закончатся в новом банкомате, как $\overline{B}$. Тогда мы ищем вероятность события $A \cap \overline{B}$.

Вероятность события A можно представить как сумму вероятностей двух несовместных событий: «купюры закончились в старом и в новом банкоматах» ($A \cap B$) и «купюры закончились только в старом банкомате» ($A \cap \overline{B}$). То есть:

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$

Отсюда можно выразить искомую вероятность:

$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения:

$P(A \cap \overline{B}) = 0,2 - 0,05 = 0,15$

Ответ: 0,15

г) «к закрытию банка купюры останутся хотя бы в одном из банкоматов»

Это событие означает, что не произойдет ситуация, когда купюры закончатся в обоих банкоматах одновременно. То есть, это событие является противоположным (дополнительным) к событию $A \cap B$ (купюры закончились в обоих банкоматах). Вероятность этого события равна:

$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$

Подставим известное значение:

$P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0,05 = 0,95$

Ответ: 0,95