Страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

37 Выделяют три основных типа воспроизводства и возрастной структуры населения.

Прогрессивный тип характеризуется высокой долей детей в населении страны, высокой рождаемостью и низкой средней продолжительностью жизни. Такой тип характерен для большинства слаборазвитых стран.

Стационарный тип характеризуется почти уравновешенной долей детских и старших возрастных групп, невысокой стабильной рождаемостью. Такой тип чаще всего встречается в странах с развивающейся экономикой, в которых длительное время не было ни экономических, ни политических потрясений.

При регрессивном типе доля пожилых людей в составе населения высока, а детей мала. Наблюдается низкая рождаемость при высокой средней продолжительности жизни. Такой тип характерен для современных развитых индустриальных стран.

На диаграмме 14 изображены половозрастные пирамиды трёх стран: Японии, Афганистана и Исландии. Определите, какая диаграмма какой стране соответствует.

Диаграмма 14. Половозрастные пирамиды трёх стран

А

Мужчины Женщины

100+

95–99

90–94

85–89

80–84

75–79

70–74

65–69

60–64

55–59

50–54

45–49

40–44

35–39

30–34

25–29

20–24

15–19

10–14

5–9

0–4

6% 4% 2% 0% 2% 4% 6%

Б

Мужчины Женщины

100+

95–99

90–94

85–89

80–84

75–79

70–74

65–69

60–64

55–59

50–54

45–49

40–44

35–39

30–34

25–29

20–24

15–19

10–14

5–9

0–4

4% 2% 0% 2% 4%

В

Мужчины Женщины

100+

95–99

90–94

85–89

80–84

75–79

70–74

65–69

60–64

55–59

50–54

45–49

40–44

35–39

30–34

25–29

20–24

15–19

10–14

5–9

0–4

4% 2% 0% 2% 4%

Для решения задачи необходимо сопоставить три типа возрастной структуры населения, описанные в тексте, с тремя представленными половозрастными пирамидами и тремя странами: Японией, Афганистаном и Исландией.

1. Прогрессивный тип: широкое основание пирамиды (много детей), быстрое сужение к вершине (мало пожилых). Характерен для слаборазвитых стран с высокой рождаемостью и низкой продолжительностью жизни.

2. Стационарный тип: пирамида имеет более ровные "стенки", основание примерно равно по ширине средним возрастным группам. Характерен для стран с уравновешенной рождаемостью и смертностью.

3. Регрессивный тип: узкое основание (мало детей) и широкая средняя и верхняя части (большая доля пожилых людей). Характерен для развитых стран с низкой рождаемостью и высокой продолжительностью жизни (старение нации).

Теперь сопоставим пирамиды и страны:

А

Эта пирамида имеет очень широкое основание и резко сужается к вершине. Это указывает на очень высокую рождаемость и высокую смертность, а следовательно, на низкую продолжительность жизни. Такая структура типична для прогрессивного типа воспроизводства. Среди предложенных стран такие демографические показатели характерны для Афганистана, являющегося одной из наименее развитых стран мира.

Ответ: Афганистан.

Б

Данная пирамида имеет суженное основание, что свидетельствует о низкой рождаемости. При этом средняя и верхняя части пирамиды достаточно широкие, что говорит о большой доле взрослого и пожилого населения и высокой продолжительности жизни. Это классический пример регрессивного типа воспроизводства, или "старения нации". Такая демографическая ситуация характерна для Японии — высокоразвитой страны с одной из самых низких рождаемостей и самой высокой продолжительностью жизни в мире.

Ответ: Япония.

В

Пирамида имеет форму, близкую к колоколу или улью. Основание не такое широкое, как у пирамиды А, но и не такое узкое, как у Б. Численность возрастных групп уменьшается плавно. Это свидетельствует о сбалансированных показателях рождаемости и смертности, характерных для стационарного типа воспроизводства. Из предложенных стран такая структура наиболее подходит для Исландии — развитой страны со стабильной демографической ситуацией, где нет ни демографического взрыва, ни резкого старения нации.

Ответ: Исландия.

38 По данным Росстата на 1 января 2021 г. население России составляло 146,2 млн чел. Рассмотрите диаграмму 13.

а) Найдите численность детей в возрасте до 4 лет на 1 января 2021 г. в России.

б) На сколько мальчиков в возрасте до 4 лет было больше, чем девочек?

а) Согласно условию, общая численность населения России на 1 января 2021 г. составляла 146,2 млн человек. По данным диаграммы 13, доля детей в возрасте до 4 лет составляет 6% от всего населения.
Чтобы найти численность детей в данной возрастной группе, необходимо вычислить 6% от общей численности населения:
$146,2 \text{ млн} \times \frac{6}{100} = 146,2 \times 0,06 = 8,772 \text{ млн чел.}$
Следовательно, численность детей в возрасте до 4 лет в России на 1 января 2021 г. составляла 8,772 миллиона человек.
Ответ: 8,772 млн чел.

б) Из решения пункта а) известно, что общая численность детей в возрасте до 4 лет составляет 8,772 млн чел. Также из диаграммы 13 известно, что в этой возрастной группе мальчиков на 5% больше, чем девочек.
Обозначим количество мальчиков как $М$, а количество девочек как $Д$ (в млн чел.).
Составим систему уравнений на основе имеющихся данных:
1) $М + Д = 8,772$ (общее количество детей)
2) $М = Д \times (1 + \frac{5}{100}) = 1,05Д$ (мальчиков на 5% больше, чем девочек)
Подставим второе уравнение в первое:
$1,05Д + Д = 8,772$
$2,05Д = 8,772$
Нам необходимо найти разницу между количеством мальчиков и девочек, то есть $М - Д$. Выразим эту разницу через $Д$, используя второе уравнение:
$М - Д = 1,05Д - Д = 0,05Д$
Из уравнения $2,05Д = 8,772$ найдем $Д = \frac{8,772}{2,05}$. Теперь подставим это в формулу для разницы:
$М - Д = 0,05 \times \frac{8,772}{2,05} = \frac{0,4386}{2,05} \approx 0,21395...$ млн чел.
Округляя результат до трёх знаков после запятой, получаем, что мальчиков было больше, чем девочек, на 0,214 млн человек.
Ответ: на 0,214 млн чел.

73 На диаграмме Эйлера (рис. 30) показаны события A, В и С. Нарисуйте диаграммы, изображающие событие:

а) $A \cup \overline{B}$;

б) $\overline{A \cup B}$;

в) $A \cup B \cup C$;

г) $\overline{A} \cup B \cup C$;

д) $\overline{A \cup B} \cup C$;

е) $\overline{A \cup B \cup C}$.

Рисунок 30

а) $A \cup \overline{B}$

Данное выражение означает объединение события $A$ и события, противоположного событию $B$ (обозначается как $\overline{B}$). Противоположное событие $\overline{B}$ — это все исходы, которые не благоприятствуют событию $B$. Таким образом, искомое событие $A \cup \overline{B}$ — это все исходы, при которых происходит событие $A$, или не происходит событие $B$, или и то и другое. На диаграмме Эйлера это соответствует всей области круга $A$, а также всей области вне круга $B$. Заштрихованная область представляет искомое событие.

Ответ:

б) $\overline{A \cup B}$

Данное выражение означает событие, противоположное объединению событий $A$ и $B$. Согласно законам де Моргана, это эквивалентно пересечению событий, противоположных $A$ и $B$: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$. Это означает, что должны произойти оба события: "не $A$" и "не $B$". То есть, это все исходы, при которых не происходит ни событие $A$, ни событие $B$. На диаграмме Эйлера это область, находящаяся одновременно вне круга $A$ и вне круга $B$.

Ответ:

в) $A \cup B \cup C$

Данное выражение означает объединение событий $A$, $B$ и $C$. Это событие происходит, если происходит хотя бы одно из событий $A$, $B$ или $C$. На диаграмме Эйлера это соответствует всей области, занимаемой тремя кругами вместе взятыми.

Ответ:

г) $\overline{A} \cup B \cup C$

Данное выражение означает объединение события, противоположного $A$, с событиями $B$ и $C$. Это событие происходит, если не происходит событие $A$, или происходит событие $B$, или происходит событие $C$. На диаграмме Эйлера это соответствует всей области за пределами круга $A$, а также всей области кругов $B$ и $C$. Единственная незаштрихованная область — это та часть круга $A$, которая не пересекается ни с $B$, ни с $C$.

Ответ:

д) $\overline{A \cup B} \cup C$

Данное выражение означает объединение события $C$ с событием, противоположным объединению $A$ и $B$. Событие $\overline{A \cup B}$ происходит, когда не происходит ни $A$, ни $B$. Таким образом, искомое событие произойдет, если произойдет событие $C$, или если не произойдут ни $A$, ни $B$. На диаграмме это соответствует всей области круга $C$, а также области вне всех трех кругов (так как эта область является частью $\overline{A \cup B}$).

Ответ:

е) $\overline{A \cup B \cup C}$

Данное выражение означает событие, противоположное объединению событий $A$, $B$ и $C$. Согласно законам де Моргана, это эквивалентно пересечению событий, противоположных каждому из них: $\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$. Это событие происходит только в том случае, если не происходит ни одно из событий $A$, $B$ или $C$. На диаграмме Эйлера это соответствует области внутри прямоугольника, но за пределами всех трех кругов.

Ответ:

74 Бросают одну игральную кость. Событие $A$ — «выпадет чётное число очков». Событие $B$ заключается в том, что:

а) выпадет число очков, кратное 3;

б) выпадет число очков, кратное 4;

в) выпадет число очков, большее 4;

г) выпадет число очков, меньшее 3.

Для каждого случая укажите элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$.

Рисунок 30

При броске одной игральной кости возможны следующие элементарные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Событие $A$ — «выпадет чётное число очков». Множество элементарных событий, благоприятствующих событию $A$, это $A = \{2, 4, 6\}$.

Событие $A \cap B$ (пересечение событий $A$ и $B$) происходит тогда, когда происходят оба события одновременно. Это означает, что выпавшее число очков должно быть чётным (условие для $A$) и одновременно удовлетворять условию для события $B$. Нам нужно найти элементарные события (исходы), которые принадлежат обоим множествам $A$ и $B$.

а) Событие $B$ заключается в том, что «выпадет число очков, кратное 3».
Этому событию благоприятствуют исходы, когда число очков делится на 3. Это 3 и 6. Таким образом, множество исходов для $B$ есть $B = \{3, 6\}$.
Найдём элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$. Это исходы, которые входят и в множество $A$, и в множество $B$.
$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{3, 6\} = \{6\}$.
Следовательно, единственное элементарное событие, благоприятствующее $A \cap B$, — это выпадение 6 очков.
Ответ: 6.

б) Событие $B$ заключается в том, что «выпадет число очков, кратное 4».
Этому событию благоприятствует только один исход — выпадение 4 очков. Таким образом, $B = \{4\}$.
Найдём элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$.
$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{4\} = \{4\}$.
Единственное элементарное событие, благоприятствующее $A \cap B$, — это выпадение 4 очков.
Ответ: 4.

в) Событие $B$ заключается в том, что «выпадет число очков, большее 4».
Этому событию благоприятствуют исходы 5 и 6. Таким образом, $B = \{5, 6\}$.
Найдём элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$.
$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{5, 6\} = \{6\}$.
Единственное элементарное событие, благоприятствующее $A \cap B$, — это выпадение 6 очков.
Ответ: 6.

г) Событие $B$ заключается в том, что «выпадет число очков, меньшее 3».
Этому событию благоприятствуют исходы 1 и 2. Таким образом, $B = \{1, 2\}$.
Найдём элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$.
$A \cap B = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 2\} = \{2\}$.
Единственное элементарное событие, благоприятствующее $A \cap B$, — это выпадение 2 очков.
Ответ: 2.

75 Игральную кость бросают дважды. Событие $A$ — «в первый раз выпадет меньше 3 очков». Событие $B$ — «во второй раз выпадет больше 4 очков».

a) В таблице этого опыта укажите элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$.

б) Найдите $P(A \cap B)$.

а)

Опыт состоит в двукратном бросании игральной кости. Общее число всех возможных элементарных исходов этого опыта равно $6 \times 6 = 36$. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — число очков, выпавшее при первом броске, а $y$ — число очков, выпавшее при втором броске.

Событие A — «в первый раз выпадет меньше 3 очков». Это означает, что результат первого броска $x$ может быть равен 1 или 2.

Событие B — «во второй раз выпадет больше 4 очков». Это означает, что результат второго броска $y$ может быть равен 5 или 6.

Событие $A \cap B$ (пересечение событий A и B) означает, что должны произойти оба события одновременно: результат первого броска меньше 3, И результат второго броска больше 4.

Таким образом, нам нужно найти все пары $(x, y)$, для которых $x \in \{1, 2\}$ и $y \in \{5, 6\}$. Такими элементарными событиями являются: (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6).

В таблице всех возможных исходов эти события (благоприятствующие $A \cap B$) выделены цветом:

Ответ: Элементарные события, благоприятствующие событию $A \cap B$: (1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6).

б)

Вероятность события $P(A \cap B)$ находится по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число исходов при двух бросках кости: $n = 36$.

Число исходов, благоприятствующих событию $A \cap B$, как мы нашли в пункте а), равно 4. То есть, $m = 4$.

Следовательно, вероятность события $A \cap B$ равна: $P(A \cap B) = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

Другой способ — использовать независимость событий A и B. Вероятность события A (при первом броске выпало меньше 3, т.е. 1 или 2) равна $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Вероятность события B (при втором броске выпало больше 4, т.е. 5 или 6) равна $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Так как броски независимы, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$.

76 Запишите формулой событие, изображённое на диаграмме Эйлера (рис. 31).

а) $B \setminus A$

б) $\Omega$

Рисунок 31

а) На диаграмме изображена закрашенная область, которая соответствует элементам, принадлежащим множеству B, но не принадлежащим множеству A. В теории вероятностей это событие означает, что событие B произошло, а событие A не произошло. Событие, противоположное A (то есть "A не произошло"), обозначается как $\overline{A}$. Таким образом, искомое событие является пересечением (произведением) событий B и $\overline{A}$. Формула для этого события записывается как $B \cap \overline{A}$ или, в более короткой форме, $B\overline{A}$. Это также эквивалентно разности множеств $B \setminus A$.

Ответ: $B\overline{A}$

б) Закрашенная область на диаграмме находится вне обоих множеств A и B. Это означает событие, при котором не наступает ни событие A, ни событие B. Объединение событий $A \cup B$ представляет собой событие, когда происходит хотя бы одно из событий A или B. Закрашенная область представляет собой событие, противоположное (дополнительное) к объединению $A \cup B$. Следовательно, событие можно описать формулой $\overline{A \cup B}$.

Альтернативно, это же событие можно описать как одновременное наступление событий "не A" ($\overline{A}$) и "не B" ($\overline{B}$), что записывается как их произведение $\overline{A}\overline{B}$. По законам де Моргана, обе записи эквивалентны: $\overline{A \cup B} = \overline{A}\overline{B}$.

Ответ: $\overline{A \cup B}$

77 Изобразите на диаграмме Эйлера событие:

a) $A \cap \overline{B}$;

б) $\overline{A \cap \overline{B}};$

в) $\overline{A} \cap B;$

г) $\overline{A \cap B}.$

а) $A \cap \overline{B}$

Событие $A \cap \overline{B}$ означает пересечение события A и дополнения события B (которое обозначается как $\overline{B}$ и означает "не B"). Иными словами, это событие, при котором происходит A, но не происходит B. В теории множеств это соответствует разности множеств $A \setminus B$. На диаграмме Эйлера эта область представляет собой часть круга A, которая не пересекается с кругом B.

Ответ: На диаграмме заштрихована область, соответствующая элементам, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B.

б) $\overline{A} \cap \overline{B}$

Событие $\overline{A} \cap \overline{B}$ означает пересечение дополнения события A ("не A") и дополнения события B ("не B"). Это событие происходит, когда не происходит ни событие A, ни событие B. Согласно законам де Моргана, это выражение эквивалентно дополнению объединения множеств A и B: $\overline{A \cup B}$. На диаграмме Эйлера это область вне обоих кругов A и B, но в пределах универсального множества (прямоугольника).

Ответ: На диаграмме заштрихована область вне множеств A и B.

в) $\overline{\overline{A} \cap B}$

Событие $\overline{\overline{A} \cap B}$ является дополнением к событию $\overline{A} \cap B$. Событие $\overline{A} \cap B$ означает, что происходит событие B, но не происходит событие A (разность $B \setminus A$). Соответственно, его дополнение означает любой другой исход: либо происходит A, либо не происходит B, либо и то, и другое. Используя законы де Моргана и свойство двойного дополнения ($\overline{\overline{A}}=A$), получаем: $\overline{\overline{A} \cap B} = \overline{\overline{A}} \cup \overline{B} = A \cup \overline{B}$. На диаграмме Эйлера это вся область, за исключением той части круга B, которая не пересекается с кругом A.

Ответ: На диаграмме заштрихована вся область, за исключением части множества B, не пересекающейся с множеством A.

г) $\overline{A \cap B}$

Событие $\overline{A \cap B}$ является дополнением к пересечению событий A и B. Пересечение $A \cap B$ означает, что события A и B происходят одновременно. Дополнение к этому событию означает, что A и B не происходят одновременно. Это включает в себя три случая: происходит только A, происходит только B, или не происходит ни A, ни B. По законам де Моргана, $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$. На диаграмме Эйлера это вся область, за исключением области пересечения кругов A и B.

Ответ: На диаграмме заштрихована вся область, кроме пересечения множеств A и B.

78 Докажите, что $P(A \cap B) \leq P(A)$ и $P(A \cap B) \leq P(B)$.

Событие $A$ можно представить в виде объединения двух несовместных (взаимоисключающих) событий:

1. Событие, состоящее в том, что происходят и $A$, и $B$. Это пересечение $A \cap B$.
2. Событие, состоящее в том, что происходит $A$, но не происходит $B$. Это пересечение $A$ с дополнением $B$, то есть $A \cap B^c$.

Таким образом, событие $A$ является объединением этих двух событий:$A = (A \cap B) \cup (A \cap B^c)$.

Эти два события, $(A \cap B)$ и $(A \cap B^c)$, являются несовместными, поскольку их пересечение пусто. Иными словами, не может одновременно произойти событие $B$ и его дополнение $B^c$.$(A \cap B) \cap (A \cap B^c) = A \cap (B \cap B^c) = A \cap \emptyset = \emptyset$.

Согласно аксиоме аддитивности вероятностей, для любых двух несовместных событий вероятность их объединения равна сумме их вероятностей. Применим это к нашему случаю:$P(A) = P((A \cap B) \cup (A \cap B^c)) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$.

По одной из основных аксиом теории вероятностей, вероятность любого события является неотрицательной величиной. Следовательно, $P(A \cap B^c) \ge 0$.

Из равенства $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ и условия $P(A \cap B^c) \ge 0$ следует, что$P(A) \ge P(A \cap B)$.Это доказывает требуемое неравенство.

Ответ: Неравенство $P(A \cap B) \le P(A)$ доказано.

Доказательство этого неравенства полностью аналогично предыдущему. Представим событие $B$ как объединение двух несовместных событий:

1. Событие, состоящее в том, что происходят и $A$, и $B$. Это пересечение $A \cap B$.
2. Событие, состоящее в том, что происходит $B$, но не происходит $A$. Это пересечение $B$ с дополнением $A$, то есть $B \cap A^c$.

Таким образом, $B = (A \cap B) \cup (B \cap A^c)$. (Мы использовали коммутативность пересечения: $B \cap A = A \cap B$).

События $(A \cap B)$ и $(B \cap A^c)$ несовместны, так как их пересечение пусто:$(A \cap B) \cap (B \cap A^c) = B \cap (A \cap A^c) = B \cap \emptyset = \emptyset$.

Применяя аксиому аддитивности для несовместных событий, получаем:$P(B) = P((A \cap B) \cup (B \cap A^c)) = P(A \cap B) + P(B \cap A^c)$.

Так как вероятность любого события неотрицательна, то $P(B \cap A^c) \ge 0$.

Из этого следует, что $P(B) \ge P(A \cap B)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $P(A \cap B) \le P(B)$ доказано.

79 Запишите формулой событие, изображённое на диаграмме Эйлера (рис. 32).

a) $A \cup B$

б) $\overline{A \cup B}$

Рисунок 32

а) На диаграмме заштрихована область, которая соответствует объединению множеств A и B. Это событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий: A или B. В теории вероятностей такое событие называется суммой событий A и B и обозначается знаком сложения или символом объединения.
Ответ: $A+B$ (или $A \cup B$)

б) На диаграмме заштрихована область, которая находится вне обоих множеств A и B. Это событие означает, что не происходит ни событие A, ни событие B. Такое событие является противоположным (дополнительным) к событию "произошло хотя бы одно из событий A или B", то есть к сумме событий $A+B$. Противоположное событие обозначается чертой над выражением.
Ответ: $\overline{A+B}$ (или $\overline{A \cup B}$)

80 Изобразите на диаграмме Эйлера событие:

a) $A \cap B \cap C$;

б) $A \cap \overline{B} \cap C$;

в) $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$;

г) $A \cap \overline{B \cap C}$;

д) $\overline{A \cap B \cap C}$.

Для изображения событий на диаграмме Эйлера мы будем использовать три пересекающихся круга, представляющих множества A, B и C, внутри прямоугольника, который символизирует универсальное множество (пространство всех элементарных событий).

Это событие означает, что произошли все три события: A, B и C. На диаграмме Эйлера это область, принадлежащая одновременно всем трем множествам, то есть их общее пересечение.

Ответ:

Это событие означает, что произошли события A и C, но не произошло событие B. На диаграмме это область пересечения множеств A и C, из которой исключена область, принадлежащая множеству B.

Ответ:

Это событие означает, что произошло событие B, но не произошли события A и C. На диаграмме это область, принадлежащая множеству B, но не принадлежащая ни A, ни C.

Ответ:

Это событие означает, что произошли события A и B, но не произошло событие C. На диаграмме это область пересечения множеств A и B, из которой исключена область, принадлежащая множеству C.

Ответ:

Это событие является дополнением к событию $A \cap B \cap C$. Оно означает, что не произошло событие "A и B и C одновременно". По законам де Моргана: $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$. На диаграмме это вся область пространства элементарных событий, за исключением области пересечения всех трех множеств A, B и C.

Ответ:

81 С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство:

a) $\overline{A}\cap \overline{B} = \overline{A \cup B};$

б) $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.$

Указание. Для доказательства нужно изобразить оба события на диаграмме Эйлера. Если изображения совпадают, то совпадают и события.

Для доказательства этого равенства с помощью диаграмм Эйлера изобразим левую и правую части на отдельных диаграммах и сравним полученные области.

1. Рассмотрим левую часть: $\overline{A} \cap \overline{B}$.
На диаграмме Эйлера множество $\overline{A}$ (дополнение к A) представляет собой всю область вне множества A. Аналогично, $\overline{B}$ — это вся область вне множества B. Пересечение этих двух дополнений, $\overline{A} \cap \overline{B}$, — это область, которая находится одновременно и вне A, и вне B. Таким образом, это область вне объединения множеств A и B.

2. Рассмотрим правую часть: $\overline{A \cup B}$.
Объединение $A \cup B$ — это область, занимаемая хотя бы одним из множеств, A или B. Дополнение к этому объединению, $\overline{A \cup B}$, — это вся область, которая не принадлежит $A \cup B$. То есть, это область вне обоих множеств.

Поскольку заштрихованные области для левой и правой частей равенства совпадают (в обоих случаях это область вне множеств A и B), то равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

Докажем это равенство аналогично, сравнивая изображения левой и правой частей на диаграммах Эйлера.

1. Рассмотрим левую часть: $\overline{A} \cup \overline{B}$.
Как и в предыдущем пункте, $\overline{A}$ — это область вне A, а $\overline{B}$ — область вне B. Объединение этих двух областей, $\overline{A} \cup \overline{B}$, включает в себя все точки, которые находятся либо вне A, либо вне B, либо и там, и там. Единственная область, которая не заштрихована, — это та, что находится одновременно и внутри A, и внутри B. Эта область является пересечением $A \cap B$. Таким образом, $\overline{A} \cup \overline{B}$ — это всё, кроме $A \cap B$.

2. Рассмотрим правую часть: $\overline{A \cap B}$.
Пересечение $A \cap B$ — это общая часть множеств A и B. Дополнение к этому пересечению, $\overline{A \cap B}$, — это вся область, за исключением их общей части.

Поскольку заштрихованные области для левой и правой частей равенства совпадают (в обоих случаях это вся область, кроме пересечения $A \cap B$), то равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.