Страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

44 Вероятность события $A$ равна 0,3, а вероятность события $B$ равна 0,7. Обязательно ли события $A$ и $B$ взаимно противоположны?

Два события $A$ и $B$ называются взаимно противоположными (или дополнительными), если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они несовместны, то есть не могут произойти одновременно. Математически это означает, что их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$), и, следовательно, вероятность их совместного наступления равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.
2. Одно из них обязательно происходит. Математически это означает, что их объединение составляет всё пространство элементарных исходов ($A \cup B = \Omega$), и, следовательно, вероятность их объединения равна единице: $P(A \cup B) = 1$.

Из этих двух условий следует, что сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Это можно показать, используя формулу для вероятности объединения событий:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставляя значения для противоположных событий ($P(A \cup B) = 1$ и $P(A \cap B) = 0$), получаем:$1 = P(A) + P(B) - 0$что приводит к равенству:$P(A) + P(B) = 1$

В условии задачи дано, что $P(A) = 0.3$ и $P(B) = 0.7$.Проверим сумму их вероятностей:$P(A) + P(B) = 0.3 + 0.7 = 1$

Это условие выполняется. Однако это лишь одно из двух необходимых условий. Чтобы события были взаимно противоположными, они также должны быть несовместными, то есть $P(A \cap B)$ должно быть равно 0. В условии задачи нет информации о несовместности этих событий. Тот факт, что сумма их вероятностей равна 1, не гарантирует их несовместность.

Чтобы доказать, что события не обязательно являются противоположными, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим следующий эксперимент: из мешка, в котором находятся 10 шаров с номерами от 1 до 10, случайным образом вынимают один шар.

Определим события:

• Событие $A$: "вынули шар с номером 1, 2 или 3". Вероятность этого события: $P(A) = \frac{3}{10} = 0.3$.
• Событие $B$: "вынули шар с номером 1, 4, 5, 6, 7, 8 или 9". Вероятность этого события: $P(B) = \frac{7}{10} = 0.7$.

Заданные в условии вероятности событий $A$ и $B$ соблюдены. Однако эти события не являются несовместными, так как они оба наступают, если выпадает шар с номером 1. Их пересечение не пусто: $A \cap B = \{1\}$. Вероятность их совместного наступления $P(A \cap B) = \frac{1}{10} = 0.1$, что не равно 0.

Поскольку события $A$ и $B$ могут произойти одновременно, они не являются взаимно противоположными. Таким образом, выполнение условия $P(A) + P(B) = 1$ является необходимым, но не достаточным для того, чтобы события были взаимно противоположными.

Ответ: нет, не обязательно.

45 Предположим, что на некотором производстве из 100 изготовленных сумок в среднем 3 бракованные (плохой шов, дефект кожи и т. п.). Это означает, что вероятность события «изготовленная сумка бракованная» равна $0,03$. Найдите вероятность того, что изготовленная сумка качественная.

События «изготовленная сумка бракованная» и «изготовленная сумка качественная» являются противоположными. Это означает, что если одно из этих событий наступает, другое наступить не может, и наоборот. Сумма вероятностей двух противоположных событий всегда равна 1.

Пусть $P(\text{Брак})$ — это вероятность того, что сумка бракованная, а $P(\text{Качество})$ — это вероятность того, что сумка качественная.

Согласно свойству противоположных событий, их сумма вероятностей равна единице:

$P(\text{Брак}) + P(\text{Качество}) = 1$

Из условия задачи известно, что вероятность события «изготовленная сумка бракованная» равна 0,03:

$P(\text{Брак}) = 0,03$

Чтобы найти вероятность того, что изготовленная сумка качественная, нужно из 1 вычесть вероятность того, что она бракованная:

$P(\text{Качество}) = 1 - P(\text{Брак}) = 1 - 0,03 = 0,97$

Ответ: 0,97

46 При изготовлении батареек в среднем на 1000 качественных батареек приходится 4 батарейки с дефектом. Найдите вероятность того:

а) что случайно выбранная батарейка имеет дефект;

б) что случайно выбранная батарейка не имеет дефектов.

Для решения задачи по теории вероятностей сначала необходимо определить общее количество исходов. В условии сказано, что на 1000 качественных батареек приходится 4 батарейки с дефектом. Это означает, что в рассматриваемой совокупности находится:

$1000 (\text{качественных}) + 4 (\text{с дефектом}) = 1004 (\text{всего батареек})$

Таким образом, общее число возможных исходов при случайном выборе одной батарейки равно 1004.

а) что случайно выбранная батарейка имеет дефект;

Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов. В данном случае благоприятным исходом является выбор батарейки с дефектом.

Число благоприятных исходов (количество дефектных батареек) равно 4.

Общее число исходов (общее количество батареек) равно 1004.

Вероятность $P(A)$ выбрать дефектную батарейку равна:

$P(A) = \frac{\text{количество дефектных батареек}}{\text{общее количество батареек}} = \frac{4}{1004}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$P(A) = \frac{4 \div 4}{1004 \div 4} = \frac{1}{251}$

Ответ: $\frac{1}{251}$

б) что случайно выбранная батарейка не имеет дефектов.

Благоприятным исходом в этом случае является выбор качественной батарейки (без дефектов).

Число благоприятных исходов (количество качественных батареек) равно 1000.

Общее число исходов по-прежнему равно 1004.

Вероятность $P(B)$ выбрать качественную батарейку равна:

$P(B) = \frac{\text{количество качественных батареек}}{\text{общее количество батареек}} = \frac{1000}{1004}$

Сократим дробь на 4:

$P(B) = \frac{1000 \div 4}{1004 \div 4} = \frac{250}{251}$

Также эту вероятность можно найти через вероятность противоположного события (выбрать дефектную батарейку), вычисленную в пункте а). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

$P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{251} = \frac{251}{251} - \frac{1}{251} = \frac{250}{251}$

Ответ: $\frac{250}{251}$

47 Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

События «ручка пишет плохо» и «ручка пишет хорошо» являются двумя взаимоисключающими и единственно возможными исходами при проверке ручки. Такие события в теории вероятностей называются противоположными (или дополнительными).

Пусть $P(A)$ — это вероятность того, что ручка пишет плохо (или не пишет). По условию задачи:
$P(A) = 0,19$

Пусть $P(B)$ — это вероятность того, что ручка пишет хорошо. Это событие, противоположное событию A.

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Математически это записывается так:
$P(A) + P(B) = 1$

Чтобы найти искомую вероятность того, что ручка пишет хорошо ($P(B)$), нужно из 1 вычесть вероятность того, что она пишет плохо ($P(A)$):
$P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,19 = 0,81$

Ответ: 0,81

48 В каждой четвёртой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Аня покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аня не найдёт приз в своей банке.

Согласно условиям акции, приз есть в каждой четвёртой банке кофе. Это означает, что из каждых 4 банок одна банка с призом, а остальные 3 — без приза. Призы распределены случайно, поэтому вероятность выбрать банку с призом при покупке одной банки равна доле банок с призами.

Пусть событие $A$ — «Аня найдёт приз в своей банке».

Вероятность этого события равна отношению числа банок с призом к общему числу банок: $P(A) = \frac{1}{4}$

Нам нужно найти вероятность противоположного события $\bar{A}$ — «Аня не найдёт приз в своей банке».

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Следовательно: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Подставим известное значение $P(A)$: $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Для записи ответа переведем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: 0,75

49 В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что выбранный в магазине наудачу аккумулятор не заряжен.

Согласно условию, общее количество аккумуляторов, поступивших в продажу, равно 80. Это общее число всех возможных исходов при случайном выборе одного аккумулятора.

Известно, что 76 из этих аккумуляторов заряжены. Чтобы найти количество не заряженных аккумуляторов, нужно из общего числа аккумуляторов вычесть число заряженных:

$80 - 76 = 4$

Таким образом, количество не заряженных аккумуляторов равно 4. Это число является количеством благоприятных исходов для события «выбранный аккумулятор не заряжен».

Вероятность события ($P$) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов:

$P = \frac{\text{число не заряженных аккумуляторов}}{\text{общее число аккумуляторов}} = \frac{4}{80}$

Для получения конечного ответа преобразуем дробь в десятичную. Сначала сократим дробь:

$\frac{4}{80} = \frac{1}{20}$

Теперь переведем полученную дробь в десятичный вид:

$\frac{1}{20} = 0,05$

Ответ: 0,05

50 Могут ли быть противоположными события C и D, если:

а) $P(C) = 0,12; P(D) = 0,78;$

б) $P(C) = 0,14; P(D) = 0,86;$

в) $P(C) = \frac{a}{a+b}, P(D) = \frac{b}{a+b}$, где $a > 0, b > 0;$

г) $P(C) = 0,5 + n; P(D) = 0,5 - n$, где $-0,5 < n < 0,5? $

Два события называются противоположными, если они несовместны и в сумме составляют все пространство элементарных исходов. Основное свойство вероятностей противоположных событий C и D заключается в том, что сумма их вероятностей равна 1: $P(C) + P(D) = 1$. Проверим это условие для каждого случая.

а)

Вычислим сумму данных вероятностей:

$P(C) + P(D) = 0,12 + 0,78 = 0,90$

Поскольку сумма вероятностей не равна 1 ($0,90 \neq 1$), события C и D не могут быть противоположными.

Ответ: не могут.

б)

Вычислим сумму данных вероятностей:

$P(C) + P(D) = 0,14 + 0,86 = 1,00$

Сумма вероятностей равна 1, поэтому события C и D могут быть противоположными.

Ответ: могут.

в)

Даны вероятности $P(C) = \frac{a}{a+b}$ и $P(D) = \frac{b}{a+b}$, где $a > 0$ и $b > 0$. Найдем их сумму:

$P(C) + P(D) = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} = 1$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то знаменатель $a+b \neq 0$, и сами вероятности $P(C)$ и $P(D)$ являются корректными (лежат в интервале $(0, 1)$). Так как их сумма равна 1, события могут быть противоположными.

Ответ: могут.

г)

Даны вероятности $P(C) = 0,5 + n$ и $P(D) = 0,5 - n$, где $-0,5 < n < 0,5$. Найдем их сумму:

$P(C) + P(D) = (0,5 + n) + (0,5 - n) = 0,5 + n + 0,5 - n = 1$

Сумма вероятностей равна 1. Теперь проверим, что сами вероятности принимают допустимые значения из отрезка $[0, 1]$.
Из условия $-0,5 < n < 0,5$ следует:
Для $P(C)$: $0,5 - 0,5 < 0,5 + n < 0,5 + 0,5 \implies 0 < P(C) < 1$.
Для $P(D)$: $-(-0,5) > -n > -0,5 \implies 0,5 > -n > -0,5$. Тогда $0,5+0,5 > 0,5-n > 0,5-0,5 \implies 1 > P(D) > 0$.
Обе вероятности являются корректными, и их сумма равна 1. Следовательно, события могут быть противоположными.

Ответ: могут.

51 Бросают одну игральную кость. Перечислите элементарные события, благоприятствующие событию $\bar{A}$, опишите событие $\bar{A}$ словами и найдите $P(\bar{A})$, если событие $A$ состоит в том, что:

a) выпадает шестёрка;

б) выпадает чётное число очков;

в) выпадает число очков, кратное трём;

г) выпадает от 2 до 5 очков.

При броске одной игральной кости общее число равновозможных элементарных исходов равно 6. Множество всех элементарных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

а)

Событие A состоит в том, что "выпадет шестёрка". Этому событию благоприятствует один исход: {6}.

Противоположное событие $\overline{A}$ состоит в том, что "не выпадет шестёрка".

Элементарные события, благоприятствующие событию $\overline{A}$, – это все возможные исходы, кроме 6. Таким образом, это события: {1, 2, 3, 4, 5}.

Описание события $\overline{A}$ словами: выпало число очков, не равное шести.

Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$, равно 5. Следовательно, вероятность события $\overline{A}$ равна:

$P(\overline{A}) = \frac{5}{6}$

Ответ: элементарные события, благоприятствующие $\overline{A}$: {1, 2, 3, 4, 5}; описание $\overline{A}$: выпадет число очков, не равное шести; $P(\overline{A}) = \frac{5}{6}$.

б)

Событие A состоит в том, что "выпадет чётное число очков". Этому событию благоприятствуют исходы: {2, 4, 6}.

Противоположное событие $\overline{A}$ состоит в том, что "не выпадет чётное число очков", то есть "выпадет нечётное число очков".

Элементарные события, благоприятствующие событию $\overline{A}$: {1, 3, 5}.

Описание события $\overline{A}$ словами: выпало нечётное число очков.

Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$, равно 3. Следовательно, вероятность события $\overline{A}$ равна:

$P(\overline{A}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: элементарные события, благоприятствующие $\overline{A}$: {1, 3, 5}; описание $\overline{A}$: выпадет нечётное число очков; $P(\overline{A}) = \frac{1}{2}$.

в)

Событие A состоит в том, что "выпадет число очков, кратное трём". Этому событию благоприятствуют исходы: {3, 6}.

Противоположное событие $\overline{A}$ состоит в том, что "выпадет число очков, не кратное трём".

Элементарные события, благоприятствующие событию $\overline{A}$: {1, 2, 4, 5}.

Описание события $\overline{A}$ словами: выпало число очков, не кратное трём.

Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$, равно 4. Следовательно, вероятность события $\overline{A}$ равна:

$P(\overline{A}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: элементарные события, благоприятствующие $\overline{A}$: {1, 2, 4, 5}; описание $\overline{A}$: выпадет число очков, не кратное трём; $P(\overline{A}) = \frac{2}{3}$.

г)

Событие A состоит в том, что "выпадет от 2 до 5 очков". Этому событию благоприятствуют исходы: {2, 3, 4, 5}.

Противоположное событие $\overline{A}$ состоит в том, что "выпадет не от 2 до 5 очков".

Элементарные события, благоприятствующие событию $\overline{A}$, – это исходы, которые не входят в диапазон от 2 до 5, то есть: {1, 6}.

Описание события $\overline{A}$ словами: выпало 1 или 6 очков.

Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$, равно 2. Следовательно, вероятность события $\overline{A}$ равна:

$P(\overline{A}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: элементарные события, благоприятствующие $\overline{A}$: {1, 6}; описание $\overline{A}$: выпадет 1 или 6 очков; $P(\overline{A}) = \frac{1}{3}$.

52 Игральную кость бросают дважды. Опишите словами событие, противоположное событие A, и найдите его вероятность, если событие A состоит в том, что в сумме при двух бросках выпадает:

а) 2 очка;

б) 12 очков;

в) менее 4 очков;

г) более 10 очков.

При бросании игральной кости дважды существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Каждый исход представляет собой упорядоченную пару чисел от 1 до 6, например, (1; 1), (1; 2) и так далее. Обозначим общее число исходов как $N=36$.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Событие, противоположное событию $A$, обозначается $\bar{A}$. Его вероятность можно найти по формуле $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

а)

Событие $A$ состоит в том, что в сумме при двух бросках выпадет 2 очка. Этому событию благоприятствует только один исход: (1; 1). Таким образом, число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность события $A$ равна $P(A) = \frac{1}{36}$.

Противоположное событие $\bar{A}$ заключается в том, что в сумме выпадет не 2 очка, то есть больше 2 очков. Вероятность этого события:$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.

Ответ: Противоположное событие заключается в том, что в сумме выпадет больше 2 очков. Его вероятность равна $\frac{35}{36}$.

б)

Событие $A$ состоит в том, что в сумме при двух бросках выпадет 12 очков. Этому событию благоприятствует только один исход: (6; 6). Число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность события $A$ равна $P(A) = \frac{1}{36}$.

Противоположное событие $\bar{A}$ заключается в том, что в сумме выпадет не 12 очков, то есть меньше 12 очков. Вероятность этого события:$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.

Ответ: Противоположное событие заключается в том, что в сумме выпадет меньше 12 очков. Его вероятность равна $\frac{35}{36}$.

в)

Событие $A$ состоит в том, что в сумме при двух бросках выпадет менее 4 очков. Это означает, что сумма очков равна 2 или 3.

Благоприятные исходы:
- для суммы 2: (1; 1) — 1 исход.
- для суммы 3: (1; 2), (2; 1) — 2 исхода.
Всего благоприятных исходов $m = 1 + 2 = 3$.

Вероятность события $A$ равна $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Противоположное событие $\bar{A}$ заключается в том, что в сумме выпадет не менее 4 очков (то есть 4 или больше). Вероятность этого события:$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: Противоположное событие заключается в том, что в сумме выпадет не менее 4 очков. Его вероятность равна $\frac{11}{12}$.

г)

Событие $A$ состоит в том, что в сумме при двух бросках выпадет более 10 очков. Это означает, что сумма очков равна 11 или 12.

Благоприятные исходы:
- для суммы 11: (5; 6), (6; 5) — 2 исхода.
- для суммы 12: (6; 6) — 1 исход.
Всего благоприятных исходов $m = 2 + 1 = 3$.

Вероятность события $A$ равна $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Противоположное событие $\bar{A}$ заключается в том, что в сумме выпадет не более 10 очков (то есть 10 или меньше). Вероятность этого события:$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: Противоположное событие заключается в том, что в сумме выпадет не более 10 очков. Его вероятность равна $\frac{11}{12}$.

53 В классе 15 мальчиков и 10 девочек. Из класса случайным образом выбирают одного ученика. Событие $D$ — «выбрана девочка».

а) Сколько элементарных событий благоприятствует событию $D$?

б) Чему равна вероятность события $D$?

в) Опишите словами событие $\overline{D}$.

г) Чему равна вероятность $P(\overline{D})$?

Для решения задачи сначала определим общее число учеников в классе. Это общее число всех возможных элементарных исходов при выборе одного ученика.

Общее число учеников $N = 15 \text{ (мальчиков)} + 10 \text{ (девочек)} = 25$.

а) Событию $D$ — «выбрана девочка» — благоприятствуют те элементарные исходы, при которых выбирают одну из девочек. Поскольку в классе 10 девочек, то и число благоприятствующих исходов равно 10.
Ответ: 10.

б) Вероятность события $D$ вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятствующих исходов ($m$) к общему числу всех возможных исходов ($N$).
$P(D) = \frac{m}{N}$
В нашем случае $m = 10$ (количество девочек) и $N = 25$ (общее количество учеников).
$P(D) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0.4$
Ответ: 0.4.

в) Событие $\bar{D}$ является противоположным событию $D$. Если событие $D$ заключается в том, что «выбрана девочка», то противоположное событие $\bar{D}$ означает, что «выбрана НЕ девочка». Так как в классе, кроме девочек, есть только мальчики, то это событие можно описать как «выбран мальчик».
Ответ: Событие $\bar{D}$ — «выбран мальчик».

г) Вероятность противоположного события $P(\bar{D})$ можно вычислить двумя способами.
Первый способ: использовать формулу $P(\bar{D}) = 1 - P(D)$.
$P(\bar{D}) = 1 - 0.4 = 0.6$
Второй способ: вычислить напрямую. Число исходов, благоприятствующих событию $\bar{D}$ (выбор мальчика), равно 15. Общее число исходов по-прежнему 25.
$P(\bar{D}) = \frac{\text{число мальчиков}}{\text{общее число учеников}} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6$
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 0.6.

54 На диаграмме Эйлера (рис. 24) изображены события A и B. Нарисуйте диаграмму в тетради и выделите на ней событие, которое состоит в том, что:

а) наступило событие $\overline{A}$;

б) наступило событие $\overline{B}$;

в) событие A наступило, а событие B нет;

г) событие B наступило, а событие A нет.

Рисунок 24

а) наступило событие $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ (читается «не А») является противоположным (дополнительным) к событию $A$. Оно означает, что событие $A$ не произошло. На диаграмме Эйлера этому событию соответствует вся область внутри прямоугольника, который представляет собой пространство всех элементарных исходов, за исключением области, занимаемой кругом $A$.

Ответ: На диаграмме нужно выделить всю область, находящуюся вне круга $A$.

б) наступило событие $\bar{B}$

Событие $\bar{B}$ (читается «не B») является противоположным к событию $B$. Оно означает, что событие $B$ не произошло. На диаграмме Эйлера этому событию соответствует вся область внутри прямоугольника, за исключением области, занимаемой кругом $B$.

Ответ: На диаграмме нужно выделить всю область, находящуюся вне круга $B$.

в) событие A наступило, а событие B нет

Это событие означает, что происходит только событие $A$, но не событие $B$. Оно соответствует той части множества $A$, которая не принадлежит множеству $B$. В терминах теории множеств это событие записывается как разность множеств $A \setminus B$ или как пересечение $A \cap \bar{B}$.

Ответ: На диаграмме нужно выделить ту часть круга $A$, которая не пересекается с кругом $B$.

г) событие B наступило, а событие A нет

Это событие означает, что происходит только событие $B$, но не событие $A$. Оно соответствует той части множества $B$, которая не принадлежит множеству $A$. В терминах теории множеств это событие записывается как разность множеств $B \setminus A$ или как пересечение $B \cap \bar{A}$.

Ответ: На диаграмме нужно выделить ту часть круга $B$, которая не пересекается с кругом $A$.