Номер 50, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

50 Могут ли быть противоположными события C и D, если:

а) $P(C) = 0,12; P(D) = 0,78;$

б) $P(C) = 0,14; P(D) = 0,86;$

в) $P(C) = \frac{a}{a+b}, P(D) = \frac{b}{a+b}$, где $a > 0, b > 0;$

г) $P(C) = 0,5 + n; P(D) = 0,5 - n$, где $-0,5 < n < 0,5? $

Два события называются противоположными, если они несовместны и в сумме составляют все пространство элементарных исходов. Основное свойство вероятностей противоположных событий C и D заключается в том, что сумма их вероятностей равна 1: $P(C) + P(D) = 1$. Проверим это условие для каждого случая.

а)

Вычислим сумму данных вероятностей:

$P(C) + P(D) = 0,12 + 0,78 = 0,90$

Поскольку сумма вероятностей не равна 1 ($0,90 \neq 1$), события C и D не могут быть противоположными.

Ответ: не могут.

б)

Вычислим сумму данных вероятностей:

$P(C) + P(D) = 0,14 + 0,86 = 1,00$

Сумма вероятностей равна 1, поэтому события C и D могут быть противоположными.

Ответ: могут.

в)

Даны вероятности $P(C) = \frac{a}{a+b}$ и $P(D) = \frac{b}{a+b}$, где $a > 0$ и $b > 0$. Найдем их сумму:

$P(C) + P(D) = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} = 1$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то знаменатель $a+b \neq 0$, и сами вероятности $P(C)$ и $P(D)$ являются корректными (лежат в интервале $(0, 1)$). Так как их сумма равна 1, события могут быть противоположными.

Ответ: могут.

г)

Даны вероятности $P(C) = 0,5 + n$ и $P(D) = 0,5 - n$, где $-0,5 < n < 0,5$. Найдем их сумму:

$P(C) + P(D) = (0,5 + n) + (0,5 - n) = 0,5 + n + 0,5 - n = 1$

Сумма вероятностей равна 1. Теперь проверим, что сами вероятности принимают допустимые значения из отрезка $[0, 1]$.
Из условия $-0,5 < n < 0,5$ следует:
Для $P(C)$: $0,5 - 0,5 < 0,5 + n < 0,5 + 0,5 \implies 0 < P(C) < 1$.
Для $P(D)$: $-(-0,5) > -n > -0,5 \implies 0,5 > -n > -0,5$. Тогда $0,5+0,5 > 0,5-n > 0,5-0,5 \implies 1 > P(D) > 0$.
Обе вероятности являются корректными, и их сумма равна 1. Следовательно, события могут быть противоположными.

Ответ: могут.