Номер 44, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

44 Вероятность события $A$ равна 0,3, а вероятность события $B$ равна 0,7. Обязательно ли события $A$ и $B$ взаимно противоположны?

Два события $A$ и $B$ называются взаимно противоположными (или дополнительными), если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они несовместны, то есть не могут произойти одновременно. Математически это означает, что их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$), и, следовательно, вероятность их совместного наступления равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.
2. Одно из них обязательно происходит. Математически это означает, что их объединение составляет всё пространство элементарных исходов ($A \cup B = \Omega$), и, следовательно, вероятность их объединения равна единице: $P(A \cup B) = 1$.

Из этих двух условий следует, что сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Это можно показать, используя формулу для вероятности объединения событий:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставляя значения для противоположных событий ($P(A \cup B) = 1$ и $P(A \cap B) = 0$), получаем:$1 = P(A) + P(B) - 0$что приводит к равенству:$P(A) + P(B) = 1$

В условии задачи дано, что $P(A) = 0.3$ и $P(B) = 0.7$.Проверим сумму их вероятностей:$P(A) + P(B) = 0.3 + 0.7 = 1$

Это условие выполняется. Однако это лишь одно из двух необходимых условий. Чтобы события были взаимно противоположными, они также должны быть несовместными, то есть $P(A \cap B)$ должно быть равно 0. В условии задачи нет информации о несовместности этих событий. Тот факт, что сумма их вероятностей равна 1, не гарантирует их несовместность.

Чтобы доказать, что события не обязательно являются противоположными, достаточно привести контрпример.

Рассмотрим следующий эксперимент: из мешка, в котором находятся 10 шаров с номерами от 1 до 10, случайным образом вынимают один шар.

Определим события:

• Событие $A$: "вынули шар с номером 1, 2 или 3". Вероятность этого события: $P(A) = \frac{3}{10} = 0.3$.
• Событие $B$: "вынули шар с номером 1, 4, 5, 6, 7, 8 или 9". Вероятность этого события: $P(B) = \frac{7}{10} = 0.7$.

Заданные в условии вероятности событий $A$ и $B$ соблюдены. Однако эти события не являются несовместными, так как они оба наступают, если выпадает шар с номером 1. Их пересечение не пусто: $A \cap B = \{1\}$. Вероятность их совместного наступления $P(A \cap B) = \frac{1}{10} = 0.1$, что не равно 0.

Поскольку события $A$ и $B$ могут произойти одновременно, они не являются взаимно противоположными. Таким образом, выполнение условия $P(A) + P(B) = 1$ является необходимым, но не достаточным для того, чтобы события были взаимно противоположными.

Ответ: нет, не обязательно.