Номер 55, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

55 Симметричную монету бросили 4 раза. Орёл при этом может выпасть 1, 2, 3 или 4 раза, а может не выпасть ни разу. Вероятности этих событий даны в таблице 1.

Найдите вероятность события, противоположного событию:

а) «орёл не выпадет ни разу»;

б) «орёл выпадет более одного раза»;

в) «решка выпадет менее трёх раз»;

г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза».

Таблица 1. Вероятности выпадения 0, 1, 2, 3 и 4 орлов

Число орлов: 0, 1, 2, 3, 4

Вероятность: $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{16}$

Для решения задачи используется свойство противоположных событий. Если `A` — некоторое событие, то `Ā` — противоположное ему событие. Сумма их вероятностей всегда равна 1: `P(A) + P(Ā) = 1`. Следовательно, вероятность противоположного события можно найти по формуле: `P(Ā) = 1 - P(A)`.

а) «орёл не выпадет ни разу»

Пусть событие `A` заключается в том, что «орёл не выпадет ни разу». Это означает, что число выпавших орлов равно 0.Из таблицы находим вероятность этого события: `P(A) = P(0 \text{ орлов}) = \frac{1}{16}`.Событие, противоположное `A`, заключается в том, что «орёл выпадет хотя бы один раз» (то есть 1, 2, 3 или 4 раза). Найдём его вероятность:`P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}`.

Ответ: `\frac{15}{16}`

б) «орёл выпадет более одного раза»

Пусть событие `B` заключается в том, что «орёл выпадет более одного раза». Это означает, что орёл выпадет 2, 3 или 4 раза.Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов:`P(B) = P(2 \text{ орла}) + P(3 \text{ орла}) + P(4 \text{ орла}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}`.Приведём дроби к общему знаменателю 16:`P(B) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}`.Противоположное событие `B̄` — «орёл выпадет не более одного раза» (то есть 0 или 1 раз). Его вероятность равна:`P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}`.

Ответ: `\frac{5}{16}`

в) «решка выпадет менее трёх раз»

Пусть событие `C` заключается в том, что «решка выпадет менее трёх раз». Монету бросают 4 раза, поэтому количество решек плюс количество орлов всегда равно 4.Событие «решка выпадет менее трёх раз» (т.е. 0, 1 или 2 раза) означает, что орлов выпадет, соответственно, 4, 3 или 2 раза. Таким образом, событие `C` эквивалентно событию «орёл выпадет более одного раза» из пункта б).`P(C) = P(\text{более 1 орла}) = \frac{11}{16}`.Противоположное событие `C̄` — «решка выпадет три или более раза» (т.е. 3 или 4 раза). Это эквивалентно тому, что орлов выпадет 1 или 0 раз.Вероятность противоположного события равна:`P(C̄) = 1 - P(C) = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}`.Также можно было посчитать напрямую:`P(C̄) = P(0 \text{ орлов}) + P(1 \text{ орёл}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}`.

Ответ: `\frac{5}{16}`

г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза»

Пусть событие `D` заключается в том, что «орёл выпадет не два раза». Это означает, что число орлов равно 0, 1, 3 или 4.Противоположное событие `D̄` заключается в том, что «орёл выпадет ровно два раза».Вероятность этого противоположного события можно найти прямо из таблицы:`P(D̄) = P(2 \text{ орла}) = \frac{3}{8}`.

Ответ: `\frac{3}{8}`