Номер 55, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

55 Симметричную монету бросили 4 раза. Орёл при этом может выпасть 1, 2, 3 или 4 раза, а может не выпасть ни разу. Вероятности этих событий даны в таблице 1.

Найдите вероятность события, противоположного событию:

а) «орёл не выпадет ни разу»;

б) «орёл выпадет более одного раза»;

в) «решка выпадет менее трёх раз»;

г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза».

Таблица 1. Вероятности выпадения 0, 1, 2, 3 и 4 орлов

Число орлов: 0, 1, 2, 3, 4

Вероятность: $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{16}$

Для решения задачи используется свойство противоположных событий. Если $A$ — некоторое событие, то $Ā$ — противоположное ему событие. Сумма их вероятностей всегда равна 1: $P(A) + P(Ā) = 1$. Следовательно, вероятность противоположного события можно найти по формуле: $P(Ā) = 1 - P(A)$.

а) «орёл не выпадет ни разу»

Пусть событие $A$ заключается в том, что «орёл не выпадет ни разу». Это означает, что число выпавших орлов равно 0.Из таблицы находим вероятность этого события: $P(A) = P(0 \text{ орлов}) = \frac{1}{16}$.Событие, противоположное $A$, заключается в том, что «орёл выпадет хотя бы один раз» (то есть 1, 2, 3 или 4 раза). Найдём его вероятность:$P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Ответ: $\frac{15}{16}$

б) «орёл выпадет более одного раза»

Пусть событие $B$ заключается в том, что «орёл выпадет более одного раза». Это означает, что орёл выпадет 2, 3 или 4 раза.Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов:$P(B) = P(2 \text{ орла}) + P(3 \text{ орла}) + P(4 \text{ орла}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$.Приведём дроби к общему знаменателю 16:$P(B) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$.Противоположное событие $B̄$ — «орёл выпадет не более одного раза» (то есть 0 или 1 раз). Его вероятность равна:$P(B̄) = 1 - P(B) = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$

в) «решка выпадет менее трёх раз»

Пусть событие $C$ заключается в том, что «решка выпадет менее трёх раз». Монету бросают 4 раза, поэтому количество решек плюс количество орлов всегда равно 4.Событие «решка выпадет менее трёх раз» (т.е. 0, 1 или 2 раза) означает, что орлов выпадет, соответственно, 4, 3 или 2 раза. Таким образом, событие $C$ эквивалентно событию «орёл выпадет более одного раза» из пункта б).$P(C) = P(\text{более 1 орла}) = \frac{11}{16}$.Противоположное событие $C̄$ — «решка выпадет три или более раза» (т.е. 3 или 4 раза). Это эквивалентно тому, что орлов выпадет 1 или 0 раз.Вероятность противоположного события равна:$P(C̄) = 1 - P(C) = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$.Также можно было посчитать напрямую:$P(C̄) = P(0 \text{ орлов}) + P(1 \text{ орёл}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$

г) «орёл выпадет неизвестно сколько раз, но точно не два раза»

Пусть событие $D$ заключается в том, что «орёл выпадет не два раза». Это означает, что число орлов равно 0, 1, 3 или 4.Противоположное событие $D̄$ заключается в том, что «орёл выпадет ровно два раза».Вероятность этого противоположного события можно найти прямо из таблицы:$P(D̄) = P(2 \text{ орла}) = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$