Номер 60, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

60 Событию $A$ благоприятствуют 6 элементарных событий, а событию $B$ — 8 элементарных событий. Из этих 8 элементарных событий 4 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте в тетради соответствующую диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы.

a) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $A$, но не благоприятствуют событию $B$?

б) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $B$, но не благоприятствуют событию $A$?

в) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $A \cup B$?

Для решения этой задачи воспользуемся понятиями из теории множеств. Пусть $A$ — это множество элементарных событий, благоприятствующих событию A, а $B$ — множество элементарных событий, благоприятствующих событию B. По условию нам даны мощности (количества элементов) этих множеств:

• Количество событий, благоприятствующих A: $|A| = 6$.
• Количество событий, благоприятствующих B: $|B| = 8$.
• Количество событий, благоприятствующих A и B одновременно (их пересечение): $|A \cap B| = 4$.

Диаграмма Эйлера для этой задачи представляет собой два пересекающихся круга. Один круг символизирует множество A, другой — множество B. В области их пересечения находится 4 элемента. В части круга A, не входящей в пересечение, находится $|A| - |A \cap B|$ элементов. В части круга B, не входящей в пересечение, находится $|B| - |A \cap B|$ элементов.

а) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию A, но не благоприятствуют событию B?

Нам нужно найти количество элементарных событий, которые входят в множество A, но не входят в множество B. Это соответствует разности множеств $A \setminus B$. Количество таких событий вычисляется по формуле:

$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$

Подставляя данные из условия, получаем:

$6 - 4 = 2$

Ответ: 2

б) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию B, но не благоприятствуют событию A?

Аналогично предыдущему пункту, нам нужно найти количество элементарных событий, которые входят в множество B, но не входят в множество A. Это соответствует разности множеств $B \setminus A$. Количество таких событий вычисляется по формуле:

$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$

Подставляя данные из условия, получаем:

$8 - 4 = 4$

Ответ: 4

в) Сколько элементарных событий благоприятствуют событию $A \cup B$?

Событие $A \cup B$ (объединение) означает, что наступает хотя бы одно из событий: A или B. Количество элементарных событий, благоприятствующих объединению, можно найти по формуле включений-исключений:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Подставляя данные из условия, получаем:

$6 + 8 - 4 = 10$

Другой способ — сложить количество событий, которые благоприятствуют только A, только B, и обоим событиям одновременно:

$|A \cup B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = 2 + 4 + 4 = 10$

Ответ: 10