Номер 62, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

62 В ходе некоторого случайного опыта событию $A$ благоприятствуют 7 элементарных событий, событию $B$ – 10 элементарных событий. 12 элементарных событий благоприятствуют событию $A \cup B$. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию:

а) «событие $A$ наступит, а событие $B$ нет»;

б) «событие $B$ наступит, а событие $A$ нет»?

Обозначим через $N(X)$ количество элементарных событий, благоприятствующих событию $X$.

Из условия задачи имеем:
Количество элементарных событий, благоприятствующих событию A: $N(A) = 7$.
Количество элементарных событий, благоприятствующих событию B: $N(B) = 10$.
Количество элементарных событий, благоприятствующих событию $A \cup B$ (то есть наступлению хотя бы одного из событий A или B): $N(A \cup B) = 12$.

Для решения задачи сначала необходимо найти количество элементарных событий, благоприятствующих одновременному наступлению событий A и B, то есть их пересечению $A \cap B$. Для этого воспользуемся формулой включений-исключений для двух событий:
$N(A \cup B) = N(A) + N(B) - N(A \cap B)$

Подставим известные значения в эту формулу:
$12 = 7 + 10 - N(A \cap B)$
$12 = 17 - N(A \cap B)$

Отсюда выразим и найдем $N(A \cap B)$:
$N(A \cap B) = 17 - 12 = 5$
Следовательно, 5 элементарных событий благоприятствуют одновременному наступлению событий A и B.

а) «событие A наступит, а событие B нет»;
Данное событие означает, что происходит событие A, но не происходит событие B. Это соответствует множеству элементарных событий $A \setminus B$. Чтобы найти количество таких событий, нужно из общего числа событий, благоприятствующих A, вычесть число событий, благоприятствующих их совместному наступлению (A и B).
$N(A \setminus B) = N(A) - N(A \cap B)$
$N(A \setminus B) = 7 - 5 = 2$
Другой способ рассуждения: событие $A \cup B$ (наступит A или B) состоит из событий, где наступает B, и событий, где наступает только A.
$N(A \cup B) = N(B) + N(A \setminus B)$
$12 = 10 + N(A \setminus B)$
$N(A \setminus B) = 12 - 10 = 2$
Ответ: 2.

б) «событие B наступит, а событие A нет»?
Это событие означает, что происходит событие B, но не происходит событие A. Это соответствует множеству $B \setminus A$. Количество таких событий находится аналогично: из общего числа событий, благоприятствующих B, вычитаем число событий, благоприятствующих их совместному наступлению.
$N(B \setminus A) = N(B) - N(A \cap B)$
$N(B \setminus A) = 10 - 5 = 5$
Другой способ: событие $A \cup B$ состоит из событий, где наступает A, и событий, где наступает только B.
$N(A \cup B) = N(A) + N(B \setminus A)$
$12 = 7 + N(B \setminus A)$
$N(B \setminus A) = 12 - 7 = 5$
Ответ: 5.