Страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

41 Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 8 и 10;

б) 8, 9 и 10.

а) Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, нужно сложить эти числа и результат разделить на их количество, то есть на 2.

1. Найдем сумму чисел: $8 + 10 = 18$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{18}{2} = 9$.

Таким образом, среднее арифметическое чисел 8 и 10 равно 9.
Ответ: 9.

б) Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, нужно сложить эти числа и результат разделить на их количество, то есть на 3.

1. Найдем сумму чисел: $8 + 9 + 10 = 27$.

2. Разделим сумму на количество чисел: $\frac{27}{3} = 9$.

Таким образом, среднее арифметическое чисел 8, 9 и 10 равно 9.
Ответ: 9.

42 Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 3, 9 и 27;

б) 6, 10, 16 и 20.

Сколько из данных чисел меньше среднего значения; больше среднего значения?

а) Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, нужно сложить эти числа и разделить полученную сумму на их количество.
Даны числа: 3, 9, 27. Всего 3 числа.
Найдем их сумму:
$ 3 + 9 + 27 = 39 $
Теперь разделим сумму на количество чисел:
$ 39 / 3 = 13 $
Среднее арифметическое этих чисел равно 13.
Теперь сравним каждое из данных чисел со средним значением 13:
$ 3 < 13 $ (меньше)
$ 9 < 13 $ (меньше)
$ 27 > 13 $ (больше)
Таким образом, 2 числа (3 и 9) меньше среднего значения, и 1 число (27) больше среднего значения.
Ответ: среднее арифметическое равно 13; два числа меньше среднего значения, одно число больше среднего значения.

б) Даны числа: 6, 10, 16, 20. Всего 4 числа.
Найдем их сумму:
$ 6 + 10 + 16 + 20 = 52 $
Теперь разделим сумму на количество чисел:
$ 52 / 4 = 13 $
Среднее арифметическое этих чисел равно 13.
Теперь сравним каждое из данных чисел со средним значением 13:
$ 6 < 13 $ (меньше)
$ 10 < 13 $ (меньше)
$ 16 > 13 $ (больше)
$ 20 > 13 $ (больше)
Таким образом, 2 числа (6 и 10) меньше среднего значения, и 2 числа (16 и 20) больше среднего значения.
Ответ: среднее арифметическое равно 13; два числа меньше среднего значения, два числа больше среднего значения.

43 Придумайте какие-нибудь четыре разных числа, среднее арифметическое которых равно:

а) второму по величине числу;

б) третьему по величине числу;

в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.

а) второму по величине числу;

Пусть искомые четыре различных числа, расположенные в порядке возрастания, – это $a_1, a_2, a_3, a_4$. Таким образом, $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$.

Среднее арифметическое этих чисел вычисляется по формуле: $M = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4}$.

По условию задачи, среднее арифметическое равно второму по величине числу, то есть $a_2$.

Составим уравнение: $\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = a_2$.

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4a_2$.

Перенесем $a_2$ в правую часть:

$a_1 + a_3 + a_4 = 3a_2$.

Теперь нам нужно подобрать четыре различных числа, удовлетворяющих этому равенству. Проще всего это сделать, задав три числа и вычислив четвертое, или выразив три числа через одно. Например, можно выразить $a_1, a_3, a_4$ через $a_2$ с помощью некоторых отклонений $d_1 < 0$ и $0 < d_3 < d_4$. Тогда $a_1=a_2+d_1$, $a_3=a_2+d_3$, $a_4=a_2+d_4$. Условие $a_1 + a_3 + a_4 = 3a_2$ превращается в $(a_2+d_1) + (a_2+d_3) + (a_2+d_4) = 3a_2$, что упрощается до $d_1 + d_3 + d_4 = 0$.

Выберем простые целые значения для отклонений. Пусть $d_3 = 1$ и $d_4 = 2$. Тогда $d_1 = -(1+2) = -3$.

Теперь выберем любое значение для $a_2$, например, $a_2 = 10$.

Найдем остальные числа:

$a_1 = a_2 + d_1 = 10 - 3 = 7$.

$a_3 = a_2 + d_3 = 10 + 1 = 11$.

$a_4 = a_2 + d_4 = 10 + 2 = 12$.

Мы получили набор чисел: 7, 10, 11, 12. Проверим, удовлетворяют ли они всем условиям. Числа различны и $7 < 10 < 11 < 12$. Найдем их среднее арифметическое: $\frac{7 + 10 + 11 + 12}{4} = \frac{40}{4} = 10$. Оно равно второму числу, 10. Условие выполнено.

Ответ: 7, 10, 11, 12.

б) третьему по величине числу;

Снова обозначим четыре различных числа в порядке возрастания как $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$.

По условию, их среднее арифметическое равно третьему по величине числу, $a_3$.

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = a_3$.

Умножим обе части на 4:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4a_3$.

Перенесем $a_3$ в правую часть:

$a_1 + a_2 + a_4 = 3a_3$.

Данная задача симметрична предыдущей. Мы можем использовать тот же метод отклонений, но теперь относительно $a_3$. Сумма отклонений $(a_1-a_3)$, $(a_2-a_3)$ и $(a_4-a_3)$ должна быть равна нулю. Пусть $d_1=a_1-a_3$, $d_2=a_2-a_3$, $d_4=a_4-a_3$. Из условия $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$ следует, что $d_1 < d_2 < 0$ и $d_4 > 0$. Уравнение имеет вид $d_1+d_2+d_4=0$.

Выберем простые целые значения для отклонений. Пусть $d_2 = -1$ и $d_1 = -2$. Тогда $d_4 = -(d_1+d_2) = -(-2-1) = 3$.

Теперь выберем любое значение для $a_3$, например, $a_3 = 10$.

Найдем остальные числа:

$a_1 = a_3 + d_1 = 10 - 2 = 8$.

$a_2 = a_3 + d_2 = 10 - 1 = 9$.

$a_4 = a_3 + d_4 = 10 + 3 = 13$.

Мы получили набор чисел: 8, 9, 10, 13. Проверим условия. Числа различны и $8 < 9 < 10 < 13$. Их среднее арифметическое: $\frac{8 + 9 + 10 + 13}{4} = \frac{40}{4} = 10$. Оно равно третьему числу, 10. Условие выполнено.

Ответ: 8, 9, 10, 13.

в) полусумме второго и третьего по величине из этих чисел.

Пусть числа по-прежнему $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$.

Полусумма второго и третьего чисел равна $\frac{a_2 + a_3}{2}$.

По условию, среднее арифметическое всех четырех чисел равно этой полусумме:

$\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} = \frac{a_2 + a_3}{2}$.

Умножим обе части уравнения на 4:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2(a_2 + a_3)$.

Раскроем скобки в правой части:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2a_2 + 2a_3$.

Соберем слагаемые с $a_1$ и $a_4$ в левой части, а с $a_2$ и $a_3$ – в правой:

$a_1 + a_4 = 2a_2 - a_2 + 2a_3 - a_3$.

$a_1 + a_4 = a_2 + a_3$.

Это равенство является характерным свойством арифметической прогрессии. Если четыре числа образуют арифметическую прогрессию, то сумма крайних членов равна сумме средних. Возьмем любую арифметическую прогрессию из четырех различных чисел.

Например, выберем простейшую: 1, 2, 3, 4. Здесь первый член $a_1=1$, разность прогрессии $d=1$.

Проверим, выполняются ли условия для набора 1, 2, 3, 4. Числа различны, $1 < 2 < 3 < 4$.

Среднее арифметическое: $\frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

Полусумма второго и третьего чисел: $\frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Значения равны, следовательно, условие выполнено.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

44 Придумайте какие-нибудь пять разных чисел, у которых среднее значение:

а) больше четырёх чисел, но меньше пятого;

б) больше первого числа, но меньше остальных четырёх.

а) Пусть у нас есть пять разных чисел: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$. Их среднее значение (среднее арифметическое) вычисляется по формуле: $M = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) / 5$. По условию, среднее значение должно быть больше четырёх чисел, но меньше пятого. Чтобы этого добиться, нужно взять четыре относительно небольших числа и одно очень большое. Большое число "перетянет" среднее значение вверх.
Возьмём, к примеру, числа 1, 2, 3, 4 и 11. Все они разные.
Найдём их среднее значение:
$M = (1 + 2 + 3 + 4 + 11) / 5 = 21 / 5 = 4.2$.
Проверим условие:
Среднее значение $4.2$ больше, чем четыре числа из набора: $4.2 > 1$, $4.2 > 2$, $4.2 > 3$, $4.2 > 4$.
Среднее значение $4.2$ меньше, чем пятое число: $4.2 < 11$.
Условие выполнено.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 11.

б) По условию, среднее значение должно быть больше первого числа, но меньше остальных четырёх. Чтобы этого добиться, нужно взять одно очень маленькое число и четыре относительно больших числа. Маленькое число "утянет" среднее значение вниз.
Возьмём, к примеру, числа 1, 10, 11, 12, 13. Все они разные.
Найдём их среднее значение:
$M = (1 + 10 + 11 + 12 + 13) / 5 = 47 / 5 = 9.4$.
Проверим условие:
Среднее значение $9.4$ больше первого числа: $9.4 > 1$.
Среднее значение $9.4$ меньше остальных четырёх чисел: $9.4 < 10$, $9.4 < 11$, $9.4 < 12$, $9.4 < 13$.
Условие выполнено.
Ответ: 1, 10, 11, 12, 13.

45 Найдите среднее значение набора чисел, не вычисляя их сумму:

а) 13, 14, 15, 16, 17;

б) 16, 17, 18, 19, 20;

в) 21, 22, 23, 24, 25;

г) 20, 25, 30, 35, 40;

д) 22, 24, 26, 28, 30;

е) 102, 104, 106, 108, 110.

Для нахождения среднего значения набора чисел, не вычисляя их сумму, можно воспользоваться свойством арифметической прогрессии. Все представленные наборы чисел являются арифметическими прогрессиями — последовательностями, в которых каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число (шаг прогрессии).

Для любой арифметической прогрессии среднее значение равно ее медиане. Если количество членов в прогрессии нечетное, как во всех данных случаях (5 членов), то медиана — это просто центральный элемент упорядоченного ряда. Таким образом, для решения достаточно найти число, стоящее в центре каждого набора.

Данный набор является арифметической прогрессией. В ряду 5 чисел (нечетное количество). Центральный элемент (третий по счету) — 15. Следовательно, это и есть среднее значение.

Ответ: 15.

Данный набор является арифметической прогрессией. В ряду 5 чисел. Центральный элемент — 18. Это среднее значение данного набора.

Ответ: 18.

Данный набор является арифметической прогрессией. В ряду 5 чисел. Центральный элемент — 23. Это и есть искомое среднее значение.

Ответ: 23.

Данный набор является арифметической прогрессией. В ряду 5 чисел. Центральный элемент — 30. Это среднее значение набора.

Ответ: 30.

Данный набор является арифметической прогрессией. В ряду 5 чисел. Центральный элемент — 26. Это среднее значение.

Ответ: 26.

Данный набор является арифметической прогрессией. В ряду 5 чисел. Центральный элемент — 106. Это среднее значение набора чисел.

Ответ: 106.

46 Сергею нужно было найти среднее арифметическое всех натуральных чисел от 1 до 100. Он вычислил его так:

$\frac{1+100}{2} = 50,5.$

а) Верно ли Сергей нашёл среднее арифметическое?

б) Приведите пример другого набора чисел, среднее арифметическое которого равно полусумме наименьшего и наибольшего чисел.

в) Приведите пример набора, для которого такой способ вычисления среднего даёт неверный результат.

а) Верно ли Сергей нашёл среднее арифметическое?

Да, Сергей нашёл среднее арифметическое верно.
Среднее арифметическое набора чисел определяется как их сумма, делённая на их количество. В данном случае рассматривается набор натуральных чисел от 1 до 100, который представляет собой арифметическую прогрессию.
1. Найдём сумму всех чисел от 1 до 100 по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1=1$ — первый член, $a_n=100$ — последний член, а $n=100$ — количество членов.
$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 5050$.
2. Найдём среднее арифметическое, разделив сумму на количество чисел:
$M = \frac{S_{100}}{n} = \frac{5050}{100} = 50,5$.
Результат совпадает с расчётом Сергея. Его способ является частным случаем вычисления среднего арифметического для арифметической прогрессии, так как $M = \frac{S_n}{n} = \frac{\frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$.
Ответ: Да, верно.

б) Приведите пример другого набора чисел, среднее арифметическое которого равно полусумме наименьшего и наибольшего чисел.

Данный способ вычисления среднего арифметического верен для любого набора чисел, который представляет собой арифметическую прогрессию, то есть последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину (шаг прогрессии).
Рассмотрим, например, набор чётных чисел: {4, 6, 8, 10, 12}.
1. Вычислим среднее арифметическое стандартным способом:
$M = \frac{4 + 6 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
2. Вычислим среднее как полусумму наименьшего и наибольшего чисел:
$M = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Результаты совпадают.
Ответ: Любая арифметическая прогрессия, например, набор {4, 6, 8, 10, 12}.

в) Приведите пример набора, для которого такой способ вычисления среднего даёт неверный результат.

Способ вычисления среднего как полусуммы наименьшего и наибольшего чисел даёт неверный результат, если набор чисел не является арифметической прогрессией.
Возьмём, к примеру, набор чисел {1, 2, 5}.
1. Вычислим среднее по "методу Сергея":
$\frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
2. Теперь вычислим истинное среднее арифметическое:
$M = \frac{1 + 2 + 5}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67$.
Поскольку $3 \neq \frac{8}{3}$, для данного набора этот способ вычисления неверен.
Ответ: Любой набор чисел, не являющийся арифметической прогрессией, например, {1, 2, 5}.

47 Отметьте числа и их среднее арифметическое на числовой прямой:

а) 1, 2, 3, 4;

б) 2, 3, 4, 5;

в) 3, 4, 5, 6;

г) 10, 11, 12, 13.

а) Для набора чисел 1, 2, 3, 4 найдем их среднее арифметическое. Среднее арифметическое — это сумма всех чисел, деленная на их количество. Сначала вычислим сумму чисел: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Количество чисел в наборе — 4. Теперь найдем среднее арифметическое: $m = \frac{10}{4} = 2.5$. На числовой прямой нужно отметить точки, соответствующие числам 1, 2, 3 и 4. Их среднее арифметическое, число 2.5, будет находиться ровно посередине между отметками 2 и 3. Ответ: среднее арифметическое равно 2.5.

б) Для набора чисел 2, 3, 4, 5 найдем их среднее арифметическое. Сначала вычислим сумму чисел: $2 + 3 + 4 + 5 = 14$. Количество чисел в наборе — 4. Теперь найдем среднее арифметическое: $m = \frac{14}{4} = 3.5$. На числовой прямой нужно отметить точки, соответствующие числам 2, 3, 4 и 5. Их среднее арифметическое, число 3.5, будет находиться ровно посередине между отметками 3 и 4. Ответ: среднее арифметическое равно 3.5.

в) Для набора чисел 3, 4, 5, 6 найдем их среднее арифметическое. Сначала вычислим сумму чисел: $3 + 4 + 5 + 6 = 18$. Количество чисел в наборе — 4. Теперь найдем среднее арифметическое: $m = \frac{18}{4} = 4.5$. На числовой прямой нужно отметить точки, соответствующие числам 3, 4, 5 и 6. Их среднее арифметическое, число 4.5, будет находиться ровно посередине между отметками 4 и 5. Ответ: среднее арифметическое равно 4.5.

г) Для набора чисел 10, 11, 12, 13 найдем их среднее арифметическое. Сначала вычислим сумму чисел: $10 + 11 + 12 + 13 = 46$. Количество чисел в наборе — 4. Теперь найдем среднее арифметическое: $m = \frac{46}{4} = 11.5$. На числовой прямой нужно отметить точки, соответствующие числам 10, 11, 12 и 13. Их среднее арифметическое, число 11.5, будет находиться ровно посередине между отметками 11 и 12. Ответ: среднее арифметическое равно 11.5.

48 Вычислите среднее арифметическое числового набора:

a) 2, 4, 7, 8, 9;

б) 20, 40, 70, 80, 90;

в) 200, 400, 700, 800, 900.

Числовые наборы б) и в) получены из набора чисел а) умножением всех чисел на 10 и на 100. Как средние значения наборов б) и в) можно получить из среднего значения набора а)?

а) Чтобы найти среднее арифметическое числового набора, необходимо сложить все числа в этом наборе и разделить полученную сумму на количество чисел в наборе.
Сумма чисел набора: $2 + 4 + 7 + 8 + 9 = 30$.
Количество чисел в наборе: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{2 + 4 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6$.
Ответ: 6.

б) Сумма чисел набора: $20 + 40 + 70 + 80 + 90 = 300$.
Количество чисел в наборе: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{20 + 40 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{300}{5} = 60$.
Ответ: 60.

в) Сумма чисел набора: $200 + 400 + 700 + 800 + 900 = 3000$.
Количество чисел в наборе: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{200 + 400 + 700 + 800 + 900}{5} = \frac{3000}{5} = 600$.
Ответ: 600.

Числовые наборы б) и в) получены из набора чисел а) умножением всех чисел на 10 и на 100. Как средние значения наборов б) и в) можно получить из среднего значения набора а)?
Среднее значение набора а) равно 6.
Среднее значение набора б) равно 60.
Среднее значение набора в) равно 600.
Каждый элемент набора б) в 10 раз больше соответствующего элемента набора а). Среднее значение набора б) также в 10 раз больше среднего значения набора а): $6 \cdot 10 = 60$.
Каждый элемент набора в) в 100 раз больше соответствующего элемента набора а). Среднее значение набора в) также в 100 раз больше среднего значения набора а): $6 \cdot 100 = 600$.
Это общее свойство среднего арифметического: если все числа набора умножить на некоторое число $k$, то и их среднее арифметическое умножится на это же число $k$.
Ответ: Среднее значение набора б) можно получить, умножив среднее значение набора а) на 10. Среднее значение набора в) можно получить, умножив среднее значение набора а) на 100.

49 Вычислите среднее арифметическое числового набора:

a) 2, 4, 7, 8, 9;

$\text{Среднее арифметическое для а): } \frac{2+4+7+8+9}{5} = \frac{30}{5} = 6$

б) 10, 20, 35, 40, 45;

$\text{Среднее арифметическое для б): } \frac{10+20+35+40+45}{5} = \frac{150}{5} = 30$

в) 50, 100, 175, 200, 225.

$\text{Среднее арифметическое для в): } \frac{50+100+175+200+225}{5} = \frac{750}{5} = 150$

Числовые наборы б) и в) получены из набора чисел а) умножением всех чисел на 5 и на 25. Как средние значения наборов б) и в) можно получить из среднего значения набора а)?

а) Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа в наборе и разделить полученную сумму на количество этих чисел.
Числовой набор: 2, 4, 7, 8, 9.
Сумма чисел: $2 + 4 + 7 + 8 + 9 = 30$.
Количество чисел в наборе: 5.
Среднее арифметическое: $ \frac{30}{5} = 6 $.
Ответ: 6.

б) Числовой набор: 10, 20, 35, 40, 45.
Сумма чисел: $10 + 20 + 35 + 40 + 45 = 150$.
Количество чисел в наборе: 5.
Среднее арифметическое: $ \frac{150}{5} = 30 $.
Ответ: 30.

в) Числовой набор: 50, 100, 175, 200, 225.
Сумма чисел: $50 + 100 + 175 + 200 + 225 = 750$.
Количество чисел в наборе: 5.
Среднее арифметическое: $ \frac{750}{5} = 150 $.
Ответ: 150.

Числовые наборы б) и в) получены из набора чисел а) умножением всех чисел на 5 и на 25. Как средние значения наборов б) и в) можно получить из среднего значения набора а)?
Мы вычислили средние значения для каждого набора:
Среднее для набора а): 6.
Среднее для набора б): 30.
Среднее для набора в): 150.
Заметим, что набор б) получен из набора а) умножением каждого числа на 5. Среднее значение набора б) также в 5 раз больше среднего значения набора а):
$6 \cdot 5 = 30$.
Аналогично, набор в) получен из набора а) умножением каждого числа на 25. Среднее значение набора в) в 25 раз больше среднего значения набора а):
$6 \cdot 25 = 150$.
Это общее свойство среднего арифметического: если все числа в наборе умножить на некоторое число $k$, то и среднее арифметическое этого набора умножится на то же число $k$.
Если исходный набор $x_1, x_2, \dots, x_n$ имеет среднее $\bar{x}$, то новый набор $k \cdot x_1, k \cdot x_2, \dots, k \cdot x_n$ будет иметь среднее:
$ \frac{k \cdot x_1 + k \cdot x_2 + \dots + k \cdot x_n}{n} = \frac{k \cdot (x_1 + x_2 + \dots + x_n)}{n} = k \cdot \bar{x} $
Ответ: Среднее значение набора б) можно получить, умножив среднее значение набора а) на 5. Среднее значение набора в) можно получить, умножив среднее значение набора а) на 25.

92 Аня ждёт автобус на остановке. Изобразите на координатной прямой следующие события:

$A = \{\text{автобус придёт не меньше чем через 1 мин}\},$

$B = \{\text{автобус придёт не меньше чем через 2 мин}\},$

$C = \{\text{автобус придёт не меньше чем через 5 мин}\}.$

Расположите события в порядке возрастания их вероятностей.

Изобразите на координатной прямой следующие события:

Пусть $t$ — это время ожидания автобуса в минутах. Тогда данные события можно представить в виде неравенств:

• Событие A = {автобус придёт не меньше чем через 1 мин} соответствует временному интервалу $t \ge 1$.
• Событие B = {автобус придёт не меньше чем через 2 мин} соответствует временному интервалу $t \ge 2$.
• Событие C = {автобус придёт не меньше чем через 5 мин} соответствует временному интервалу $t \ge 5$.

На координатной прямой, где ось представляет время $t$ в минутах, эти события будут выглядеть как числовые лучи. Точка начала луча включается в интервал, так как используется формулировка «не меньше чем».

Ответ: Изображение событий на координатной прямой представлено на рисунке выше.

Расположите события в порядке возрастания их вероятностей.

Чтобы сравнить вероятности событий, проанализируем их взаимосвязь.Событие C (автобус придёт через 5 минут или позже) является более строгим условием, чем событие B (автобус придёт через 2 минуты или позже). Если событие C произошло, то это означает, что событие B также непременно произошло. Таким образом, множество благоприятных исходов для C является подмножеством множества исходов для B. В терминах теории множеств это записывается как $C \subset B$.

Аналогично, если произошло событие B (автобус придёт не раньше чем через 2 минуты), то событие A (автобус придёт не раньше чем через 1 минуту) также обязательно произошло. Следовательно, множество исходов B является подмножеством множества исходов A: $B \subset A$.

Мы получили следующую вложенность событий: $C \subset B \subset A$.Из основного свойства вероятности следует, что если одно событие является подмножеством другого, то его вероятность не больше вероятности второго события. Таким образом, для вероятностей $P(A)$, $P(B)$ и $P(C)$ справедливо неравенство:

$P(C) \le P(B) \le P(A)$

Это означает, что событие C является наименее вероятным, а событие A — наиболее вероятным. Следовательно, события в порядке возрастания их вероятностей располагаются как C, B, A.

Ответ: C, B, A.

93 Мама измеряет температуру воды для купания ребёнка. Изобразите на координатной прямой следующие события:

$A = \{ \text{температура воды не ниже } 35,5^\circ\text{C} \}$,

$B = \{ \text{температура воды не ниже } 36,2^\circ\text{C} \}$,

$C = \{ \text{температура воды не ниже } 36^\circ\text{C} \}$.

Расположите эти события в порядке возрастания их вероятностей.

Для решения задачи разобьем ее на две части: изображение событий на координатной прямой и упорядочивание их по вероятности.

Обозначим температуру воды переменной $t$ в градусах Цельсия. Каждое событие представляет собой множество значений температуры, которое можно изобразить на числовой оси.

• Событие A: {температура воды не ниже 35,5 °C}
  Это условие можно записать в виде неравенства: $t \ge 35,5$. На координатной прямой это событие изображается в виде луча, который начинается в точке 35,5 (включительно, поэтому точка закрашенная) и уходит вправо к плюс бесконечности. В виде интервала это записывается как $[35,5; +\infty)$.

• Событие B: {температура воды не ниже 36,2 °C}
  Это условие соответствует неравенству $t \ge 36,2$. На координатной прямой это луч, начинающийся в закрашенной точке 36,2 и идущий вправо. В виде интервала: $[36,2; +\infty)$.

• Событие C: {температура воды не ниже 36 °C}
  Это условие соответствует неравенству $t \ge 36$. На координатной прямой это луч, начинающийся в закрашенной точке 36 и идущий вправо. В виде интервала: $[36; +\infty)$.

Ответ: Событие A изображается на координатной прямой лучом $[35,5; +\infty)$, событие C — лучом $[36; +\infty)$, а событие B — лучом $[36,2; +\infty)$. Все лучи начинаются от закрашенной точки и идут вправо.

Чтобы расположить события в порядке возрастания их вероятностей, нужно сравнить множества исходов (температур), которые соответствуют каждому событию.

Событие B является самым строгим (требует самой высокой минимальной температуры). Если произошло событие B (температура не ниже 36,2 °C), то автоматически произошло и событие C (температура не ниже 36 °C), и событие A (температура не ниже 35,5 °C). Это означает, что множество исходов события B является подмножеством множества исходов C, а множество C — подмножеством A.

Математически это можно записать как вложение множеств: $B \subset C \subset A$.

Вероятность события тем больше, чем шире диапазон благоприятных для него исходов. Поскольку событие B имеет самый узкий диапазон температур, оно является наименее вероятным. Событие A имеет самый широкий диапазон и является наиболее вероятным. Обозначая вероятности событий как $P(A)$, $P(B)$ и $P(C)$, получаем соотношение:

$P(B) \le P(C) \le P(A)$

Таким образом, для расположения событий в порядке возрастания их вероятностей, мы должны начать с самого маловероятного (B) и закончить самым вероятным (A).

Ответ: B, C, A.

94 На хлебозаводе производится контрольное взвешивание испечённой буханки хлеба. Изобразите на координатной прямой следующие события:

A $A = \{\text{масса буханки больше } 790 \text{ г}\}$

B $B = \{\text{масса буханки меньше } 810 \text{ г}\}$

C $C = \{\text{масса буханки от } 792 \text{ до } 808 \text{ г}\}$

D $D = \{\text{масса буханки от } 790 \text{ до } 810 \text{ г}\}$

Укажите событие, которое имеет наименьшую вероятность.

Для решения задачи обозначим массу буханки хлеба переменной $x$ (в граммах). Каждое событие представляет собой некоторое множество значений, которое может принимать $x$. Изобразим эти множества на координатной прямой и сравним их.

A = {масса буханки больше 790 г}

Данное событие означает, что масса буханки $x$ удовлетворяет строгому неравенству $x > 790$. На координатной прямой это множество представляет собой все точки, расположенные справа от числа 790. Поскольку неравенство строгое, сама точка 790 не включается в это множество, что на прямой обозначается выколотым (пустым) кружком. Таким образом, событие A соответствует открытому числовому лучу.

Ответ: Событие A изображается на координатной прямой открытым лучом $(790; +\infty)$.

B = {масса буханки меньше 810 г}

Это событие означает, что масса буханки $x$ удовлетворяет строгому неравенству $x < 810$. На координатной прямой этому множеству соответствуют все точки, расположенные слева от числа 810. Точка 810 не включается в множество и обозначается выколотым кружком. Хотя масса не может быть отрицательной, в контексте числовой прямой это событие изображается как открытый числовой луч, идущий влево.

Ответ: Событие B изображается на координатной прямой открытым лучом $(-\infty; 810)$.

C = {масса буханки от 792 до 808 г}

Формулировка "от ... до" в данном контексте обычно подразумевает включение границ. Событие описывается двойным нестрогим неравенством $792 \le x \le 808$. На координатной прямой это множество точек, заключенных между 792 и 808, включая сами эти точки. Граничные точки 792 и 808 обозначаются закрашенными (сплошными) кружками. Это замкнутый интервал (отрезок). Длина этого интервала равна $808 - 792 = 16$ г.

Ответ: Событие C изображается на координатной прямой отрезком $[792; 808]$.

D = {масса буханки от 790 до 810 г}

Аналогично предыдущему пункту, это событие описывается двойным нестрогим неравенством $790 \le x \le 810$. На координатной прямой это отрезок с закрашенными граничными точками 790 и 810. Длина этого интервала равна $810 - 790 = 20$ г.

Ответ: Событие D изображается на координатной прямой отрезком $[790; 810]$.

Укажите событие, которое имеет наименьшую вероятность.

Вероятность события связана с "размером" множества исходов, которые ему благоприятствуют. Чтобы найти событие с наименьшей вероятностью, нужно найти самое "узкое", то есть самое ограниченное, множество.

Сравним множества, соответствующие событиям:

$A = (790; +\infty)$

$B = (-\infty; 810)$

$C = [792; 808]$

$D = [790; 810]$

Можно заметить, что множество C является подмножеством всех остальных рассматриваемых множеств:

1. Любое число из отрезка $[792; 808]$ больше 790, значит, $C \subset A$.

2. Любое число из отрезка $[792; 808]$ меньше 810, значит, $C \subset B$.

3. Отрезок $[792; 808]$ полностью содержится внутри отрезка $[790; 810]$, значит, $C \subset D$.

Поскольку событие $C$ накладывает самые строгие ограничения на массу буханки (то есть, если произошло событие $C$, то автоматически произошли и события $A$, $B$ и $D$), его вероятность будет наименьшей. Сравнивая длины конечных интервалов, мы также видим, что длина интервала $C$ (16 г) меньше длины интервала $D$ (20 г), что также указывает на меньшую вероятность события $C$.

Ответ: Событие C.

95 Вероятность того, что в случайный момент времени атмосферное давление в некотором городе не выше 745 мм рт. ст., равна 0,53. Найдите вероятность того, что в случайный момент давление превышает 745 мм рт. ст. Изобразите соответствующие события на числовой прямой.

Пусть событие $A$ заключается в том, что атмосферное давление в случайный момент времени в некотором городе не выше 745 мм рт. ст. Это можно записать как $ P \le 745 $ мм рт. ст.

По условию задачи, вероятность этого события равна 0,53:
$ P(A) = 0,53 $

Нужно найти вероятность события $B$, которое заключается в том, что в случайный момент давление превышает 745 мм рт. ст. Это можно записать как $ P > 745 $ мм рт. ст.

События $A$ и $B$ являются противоположными (взаимодополняющими). Это означает, что они охватывают все возможные исходы и не могут произойти одновременно. Давление в любой момент времени либо не превышает 745 мм рт. ст., либо строго больше этого значения. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1:
$ P(A) + P(B) = 1 $

Чтобы найти вероятность события $B$, необходимо вычесть вероятность события $A$ из единицы:
$ P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,53 = 0,47 $

Таким образом, вероятность того, что в случайный момент давление превышает 745 мм рт. ст., составляет 0,47.

Изобразим эти события на числовой прямой. Ось представляет возможные значения атмосферного давления.
Событие $A$ ($P \le 745$) соответствует числовому лучу, идущему влево от точки 745, включая саму точку (на рисунке обозначено синим цветом и закрашенным кружком).
Событие $B$ ($P > 745$) соответствует числовому лучу, идущему вправо от точки 745, не включая саму точку (на рисунке обозначено красным цветом и пустым кружком).

Ответ: 0,47.

96 При изготовлении подшипников диаметром 65 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного более чем на 0,01 мм, равна 0,034. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр в пределах от 64,99 до 65,01 мм.

Пусть $D$ – диаметр случайного подшипника. По условию, номинальный диаметр равен 65 мм.

Событие A заключается в том, что диаметр отличается от заданного более чем на 0,01 мм. Это можно записать с помощью неравенства: $|D - 65| > 0,01$. Вероятность этого события дана и равна $P(A) = 0,034$.

Нам нужно найти вероятность события B, которое заключается в том, что диаметр подшипника будет в пределах от 64,99 мм до 65,01 мм. Это можно записать в виде двойного неравенства: $64,99 \le D \le 65,01$.

Преобразуем это неравенство:
$64,99 - 65 \le D - 65 \le 65,01 - 65$
$-0,01 \le D - 65 \le 0,01$
Это неравенство эквивалентно следующему: $|D - 65| \le 0,01$.

События A ($|D - 65| > 0,01$) и B ($|D - 65| \le 0,01$) являются противоположными (дополнительными) друг другу. Это означает, что одно из этих событий обязательно произойдет. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1.
$P(A) + P(B) = 1$

Чтобы найти искомую вероятность $P(B)$, нужно вычесть из 1 вероятность события A:
$P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,034 = 0,966$

Ответ: 0,966

97 При изготовлении шоколадных батончиков номинальной массой 55 г вероятность того, что масса батончика будет в пределах от 54 до 56 г, равна 0,76. Найдите вероятность того, что масса батончика отличается от номинальной больше чем на 1 г.

Пусть $m$ — это масса шоколадного батончика. Номинальная масса батончика составляет 55 г.

По условию задачи, вероятность того, что масса батончика находится в пределах от 54 г до 56 г, равна 0,76. Это событие можно записать в виде неравенства: $P(54 \le m \le 56) = 0,76$.

Рассмотрим, что означает условие $54 \le m \le 56$ с точки зрения отклонения от номинальной массы. Вычтем номинальную массу (55 г) из всех частей этого двойного неравенства:
$54 - 55 \le m - 55 \le 56 - 55$
$-1 \le m - 55 \le 1$
Это неравенство эквивалентно условию $|m - 55| \le 1$.
Таким образом, событие "масса батончика находится в пределах от 54 г до 56 г" то же самое, что и событие "масса батончика отличается от номинальной не более чем на 1 г". Вероятность этого события равна 0,76.

Нам нужно найти вероятность того, что масса батончика отличается от номинальной больше чем на 1 г. Это событие-противоположность тому, которое мы рассмотрели. Математически оно записывается как $|m - 55| > 1$.

События A ($|m - 55| \le 1$) и B ($|m - 55| > 1$) являются противоположными (или взаимодополняющими), так как масса батончика может отличаться от номинальной либо не более чем на 1 г, либо более чем на 1 г. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1:
$P(A) + P(B) = 1$
Следовательно, искомая вероятность $P(B)$ может быть найдена как:
$P(|m - 55| > 1) = 1 - P(|m - 55| \le 1)$
Подставляя известное значение, получаем:
$P(|m - 55| > 1) = 1 - 0,76 = 0,24$

Ответ: 0,24

98 Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит два года или больше, равна 0,87. Найдите вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года.

Введем обозначения для событий:

• Событие $A$: «новый сканер прослужит больше года».
• Событие $B$: «новый сканер прослужит два года или больше».

По условию задачи, нам даны вероятности этих событий:

$P(A) = 0,96$

$P(B) = 0,87$

Нам необходимо найти вероятность события $C$: «сканер прослужит меньше двух лет, но больше года».

Рассмотрим событие $A$. Оно означает, что срок службы сканера $t > 1$ год. Это событие можно разбить на два несовместных (взаимоисключающих) исхода:

1. Срок службы сканера больше года, но меньше двух лет ($1 < t < 2$). Это в точности событие $C$.
2. Срок службы сканера два года или больше ($t \ge 2$). Это в точности событие $B$.

Так как событие $A$ является объединением двух несовместных событий $B$ и $C$, то его вероятность равна сумме вероятностей этих событий:

$P(A) = P(B) + P(C)$

Из этой формулы мы можем выразить вероятность интересующего нас события $C$:

$P(C) = P(A) - P(B)$

Теперь подставим числовые значения, данные в условии:

$P(C) = 0,96 - 0,87 = 0,09$

Ответ: 0,09

99 Термометр измеряет комнатную температуру. Вероятность того, что температура окажется не ниже $18^\circ\text{C}$, равна 0,78. Вероятность того, что температура окажется не выше $23^\circ\text{C}$, равна 0,63. Найдите вероятность того, что температура окажется в пределах от $18^\circ\text{C}$ до $23^\circ\text{C}$.

Пусть $T$ — это измеряемая комнатная температура. Введем следующие события:
Событие A: температура окажется не ниже 18 °C. Математически это записывается как $T \ge 18$. По условию, вероятность этого события $P(A) = P(T \ge 18) = 0.78$.
Событие B: температура окажется не выше 23 °C. Математически это записывается как $T \le 23$. По условию, вероятность этого события $P(B) = P(T \le 23) = 0.63$.

Нам нужно найти вероятность того, что температура окажется в пределах от 18 до 23 °C, то есть $P(18 \le T \le 23)$.

Для решения задачи удобно использовать противоположные события.
Событие, противоположное событию A (температура не ниже 18 °C), — это событие, что температура строго ниже 18 °C ($T < 18$). Вероятность этого события равна:
$P(T < 18) = 1 - P(T \ge 18) = 1 - 0.78 = 0.22$.

Событие, противоположное событию B (температура не выше 23 °C), — это событие, что температура строго выше 23 °C ($T > 23$). Вероятность этого события равна:
$P(T > 23) = 1 - P(T \le 23) = 1 - 0.63 = 0.37$.

Всё пространство возможных значений температуры можно разделить на три непересекающихся диапазона:
1. Температура ниже 18 °C ($T < 18$).
2. Температура от 18 °C до 23 °C включительно ($18 \le T \le 23$).
3. Температура выше 23 °C ($T > 23$).
Сумма вероятностей этих трёх взаимоисключающих событий равна 1, так как они охватывают все возможные исходы.
$P(T < 18) + P(18 \le T \le 23) + P(T > 23) = 1$

Подставим вычисленные ранее вероятности в это уравнение:
$0.22 + P(18 \le T \le 23) + 0.37 = 1$
Сложим известные вероятности:
$P(18 \le T \le 23) + 0.59 = 1$
Теперь выразим искомую вероятность:
$P(18 \le T \le 23) = 1 - 0.59 = 0.41$

Ответ: 0,41

100 В роддоме измеряют массу новорождённого. Вероятность того, что масса окажется не меньше $3 \text{ кг}$, равна $0.87$; вероятность того, что масса окажется не больше $3 \text{ кг } 600 \text{ г}$, равна $0.93$. Найдите вероятность того, что масса случайно выбранного новорождённого окажется в пределах от $3 \text{ кг}$ до $3 \text{ кг } 600 \text{ г}$.

Пусть $M$ — это случайная величина, обозначающая массу новорождённого в килограммах.

Введем два события:
Событие A: масса окажется не меньше 3 кг. Это можно записать как неравенство $M \ge 3$. Вероятность этого события по условию равна $P(A) = P(M \ge 3) = 0,87$.
Событие B: масса окажется не больше 3 кг 600 г, то есть не больше 3,6 кг. Это можно записать как неравенство $M \le 3,6$. Вероятность этого события по условию равна $P(B) = P(M \le 3,6) = 0,93$.

Нам нужно найти вероятность того, что масса случайно выбранного новорождённого окажется в пределах от 3 кг до 3 кг 600 г. Это соответствует событию $3 \le M \le 3,6$.

Для решения задачи удобно использовать противоположные события.
Событие, противоположное событию A (масса не меньше 3 кг), это событие $\bar{A}$ (масса строго меньше 3 кг). Его вероятность:
$P(\bar{A}) = P(M < 3) = 1 - P(M \ge 3) = 1 - 0,87 = 0,13$.

Событие, противоположное событию B (масса не больше 3,6 кг), это событие $\bar{B}$ (масса строго больше 3,6 кг). Его вероятность:
$P(\bar{B}) = P(M > 3,6) = 1 - P(M \le 3,6) = 1 - 0,93 = 0,07$.

Все возможные значения массы можно разделить на три непересекающихся диапазона:
1. Масса меньше 3 кг ($M < 3$).
2. Масса от 3 кг до 3,6 кг включительно ($3 \le M \le 3,6$).
3. Масса больше 3,6 кг ($M > 3,6$).

Так как эти три события взаимоисключающие и вместе составляют все возможные исходы, сумма их вероятностей равна 1:
$P(M < 3) + P(3 \le M \le 3,6) + P(M > 3,6) = 1$

Подставим в это равенство найденные нами значения вероятностей:
$0,13 + P(3 \le M \le 3,6) + 0,07 = 1$
Сложим известные вероятности:
$0,20 + P(3 \le M \le 3,6) = 1$

Теперь можем найти искомую вероятность:
$P(3 \le M \le 3,6) = 1 - 0,20 = 0,8$

Ответ: 0,8

1 Чему равна вероятность события, изображение которого на числовой прямой занимает всю прямую?

Событие, изображение которого на числовой прямой занимает всю прямую, представляет собой множество всех возможных исходов случайного эксперимента. В теории вероятностей такое событие называется достоверным событием.

Достоверное событие — это событие, которое в результате опыта непременно должно произойти. Пространство всех элементарных исходов, которое обычно обозначают буквой $\Omega$ (омега), и является достоверным событием.

Согласно аксиомам теории вероятностей, вероятность достоверного события всегда равна 1. Это означает, что событие произойдет со стопроцентной вероятностью. Если обозначить наше событие как $A$, то $A = \Omega$, и его вероятность $P(A) = P(\Omega) = 1$.

Ответ: 1

2 Как изображаются на координатной прямой взаимно противоположные события?

Взаимно противоположными (или дополнительными) событиями называют два единственно возможных исхода испытания, которые не могут произойти одновременно. Если одно событие обозначить как $A$, то противоположное ему событие обозначается как $\overline{A}$.

Главное свойство вероятностей таких событий заключается в том, что их сумма всегда равна единице:

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$

В контексте теории вероятностей координатная прямая обычно представляет собой шкалу вероятностей — отрезок от 0 до 1, где 0 соответствует невозможному событию, а 1 — достоверному событию.

Если вероятность наступления события $A$ равна $p$, то есть $P(A) = p$, то вероятность противоположного события $\overline{A}$ будет равна $1-p$, то есть $P(\overline{A}) = 1-p$.

Следовательно, на координатной прямой вероятности взаимно противоположных событий изображаются двумя точками с координатами $p$ и $1-p$. Эти две точки всегда расположены симметрично относительно точки с координатой $0.5$ (середины отрезка $[0, 1]$). Это можно проверить, найдя середину отрезка между ними: $\frac{p + (1-p)}{2} = \frac{1}{2}$.

Например, если вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна $0.5$, то и вероятность выпадения решки (противоположное событие) тоже равна $1 - 0.5 = 0.5$. В этом случае обе точки совпадают в центре отрезка. Если же вероятность дождя завтра равна $0.3$, то вероятность его отсутствия — $1 - 0.3 = 0.7$. Точки $0.3$ и $0.7$ на шкале вероятностей будут симметричны относительно точки $0.5$.

Ответ: Вероятности взаимно противоположных событий изображаются на координатной прямой (на шкале вероятностей от 0 до 1) двумя точками, которые симметричны относительно точки $0.5$.

3 Промежуток, изображающий первое событие, целиком содержится в промежутке, изображающем второе событие. Сравните вероятности этих событий.

Обозначим первое событие как A, а второе — как B. Их вероятности обозначим как $P(A)$ и $P(B)$ соответственно.

Условие, что промежуток, изображающий первое событие (A), целиком содержится в промежутке, изображающем второе событие (B), означает, что всякий раз, когда происходит событие A, обязательно происходит и событие B. В терминах теории множеств это означает, что множество исходов, благоприятствующих событию A, является подмножеством множества исходов, благоприятствующих событию B. Это записывается как $A \subseteq B$.

Событие B можно представить как объединение двух непересекающихся (несовместных) событий: события A и события "B, но не A" (то есть, исходы, которые есть в B, но отсутствуют в A). Обозначим это разностное событие как $B \setminus A$. Тогда $B = A \cup (B \setminus A)$.

Согласно аксиоме аддитивности, вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей: $P(B) = P(A \cup (B \setminus A)) = P(A) + P(B \setminus A)$

Вероятность любого события не может быть отрицательной, поэтому $P(B \setminus A) \ge 0$.

Из этого следует, что $P(B) = P(A) + \text{(неотрицательное число)}$. Следовательно, мы получаем неравенство: $P(B) \ge P(A)$, что эквивалентно $P(A) \le P(B)$.

Таким образом, вероятность первого события не превышает вероятность второго события. Равенство $P(A) = P(B)$ достигается только тогда, когда промежутки событий A и B совпадают, то есть когда вероятность события $B \setminus A$ равна нулю.

Ответ: Вероятность первого события меньше или равна вероятности второго события.