Страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

54 Найдите медиану и среднее арифметическое чисел:

а) $1, 3, 5, 7, 9;$

б) $1, 3, 5, 7, 14;$

в) $1, 3, 5, 7, 9, 11;$

г) $1, 3, 5, 7, 9, 17.$

а) 1, 3, 5, 7, 9

Для нахождения медианы необходимо убедиться, что числовой ряд упорядочен. Данный ряд уже упорядочен по возрастанию. В ряду 5 чисел, что является нечетным количеством. В этом случае медиана — это число, которое находится ровно посередине. Это третий элемент ряда.
Медиана = 5.

Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех чисел, деленная на их количество.
Сумма чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.
Количество чисел: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{25}{5} = 5$.

Ответ: медиана – 5, среднее арифметическое – 5.

б) 1, 3, 5, 7, 14

Ряд чисел 1, 3, 5, 7, 14 уже упорядочен. В нем 5 элементов (нечетное число).
Медиана — это центральный (третий) элемент ряда.
Медиана = 5.

Среднее арифметическое:
Сумма чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 14 = 30$.
Количество чисел: 5.
Среднее арифметическое: $\frac{30}{5} = 6$.

Ответ: медиана – 5, среднее арифметическое – 6.

в) 1, 3, 5, 7, 9, 11

Ряд 1, 3, 5, 7, 9, 11 упорядочен и содержит 6 элементов (четное число).
Медиана для ряда с четным количеством элементов — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих в центре. В данном случае это третий и четвертый элементы: 5 и 7.
Медиана = $\frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Среднее арифметическое:
Сумма чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36$.
Количество чисел: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{36}{6} = 6$.

Ответ: медиана – 6, среднее арифметическое – 6.

г) 1, 3, 5, 7, 9, 17

Ряд 1, 3, 5, 7, 9, 17 упорядочен и содержит 6 элементов (четное число).
Медиана — это среднее арифметическое двух центральных элементов (третьего и четвертого): 5 и 7.
Медиана = $\frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Среднее арифметическое:
Сумма чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 17 = 42$.
Количество чисел: 6.
Среднее арифметическое: $\frac{42}{6} = 7$.

Ответ: медиана – 6, среднее арифметическое – 7.

55 Отметьте числа наборов и их медианы на числовой прямой:

а) 8, 11, 3;

б) 7, 4, 8, 1, 5;

в) 10, 3, 9, 8, 4, 5, 7.

Дан набор чисел: 8, 11, 3.

Для нахождения медианы необходимо сначала упорядочить числа по возрастанию: 3, 8, 11.

Так как в наборе нечетное количество чисел (3 числа), медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного ряда. В данном случае это 8.

Ниже на числовой прямой отмечены числа из набора (3, 8, 11) синими точками и медиана (8) — большой красной точкой.

Ответ: Медиана набора равна $8$.

Дан набор чисел: 7, 4, 8, 1, 5.

Упорядочим числа по возрастанию: 1, 4, 5, 7, 8.

В наборе 5 чисел (нечетное количество), поэтому медиана — это центральное число в упорядоченном ряду. В данном случае это 5.

Ниже на числовой прямой отмечены числа из набора (1, 4, 5, 7, 8) синими точками и медиана (5) — большой красной точкой.

Ответ: Медиана набора равна $5$.

Дан набор чисел: 10, 3, 9, 8, 4, 5, 7.

Упорядочим числа по возрастанию: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10.

В наборе 7 чисел (нечетное количество), поэтому медиана — это число, стоящее в середине упорядоченного ряда. В данном случае это 7.

Ниже на числовой прямой отмечены числа из набора (3, 4, 5, 7, 8, 9, 10) синими точками и медиана (7) — большой красной точкой.

Ответ: Медиана набора равна $7$.

56 Отметьте числа наборов и их медианы на числовой прямой:

a) 9, 11, 3, 17;

б) 7, 4, 8, 1, 5, 6;

в) 11, 3, 9, 8, 13, 4, 5, 7.

а) Для нахождения медианы набора чисел необходимо сначала упорядочить этот набор по возрастанию. Исходный набор чисел: 9, 11, 3, 17.
Упорядоченный по возрастанию набор: 3, 9, 11, 17.
В данном наборе 4 числа, то есть четное количество элементов. Медиана для такого набора вычисляется как среднее арифметическое двух центральных элементов.
Центральными элементами являются 9 и 11.
Вычисляем медиану: $ \text{Медиана} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10 $.

Числа набора и его медиана на числовой прямой:

● — числа из набора; ◆ — медиана.

Ответ: медиана равна 10.

б) Для нахождения медианы упорядочим набор чисел по возрастанию. Исходный набор: 7, 4, 8, 1, 5, 6.
Упорядоченный по возрастанию набор: 1, 4, 5, 6, 7, 8.
В наборе 6 чисел (четное количество). Медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.
Центральные элементы: 5 и 6.
Вычисляем медиану: $ \text{Медиана} = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2} = 5,5 $.

Числа набора и его медиана на числовой прямой:

● — числа из набора; ◆ — медиана.

Ответ: медиана равна 5,5.

в) Упорядочим данный набор чисел по возрастанию. Исходный набор: 11, 3, 9, 8, 13, 4, 5, 7.
Упорядоченный по возрастанию набор: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13.
В наборе 8 чисел (четное количество). Медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.
Центральные элементы: 7 и 8.
Вычисляем медиану: $ \text{Медиана} = \frac{7 + 8}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 $.

Числа набора и его медиана на числовой прямой:

● — числа из набора; ◆ — медиана.

Ответ: медиана равна 7,5.

57 Найдите медиану набора чисел:

а) 11, 3, 21, 4, 17;

б) 25, 17, 19, 28, 18;

в) 25, 50, 25, 29, 27, 40, 28.

а)

Чтобы найти медиану набора чисел, их нужно сначала упорядочить (расположить в порядке возрастания). Исходный набор: 11, 3, 21, 4, 17.

Упорядоченный ряд чисел: 3, 4, 11, 17, 21.

Медиана – это значение, которое находится в середине упорядоченного набора. В данном наборе 5 чисел, что является нечетным количеством. Порядковый номер медианы можно найти по формуле $(n+1)/2$, где $n$ – количество чисел в наборе. В нашем случае это $(5+1)/2 = 3$-й элемент.

Третьим числом в упорядоченном ряду является 11.

Ответ: 11

б)

Расположим числа из набора 25, 17, 19, 28, 18 в порядке возрастания.

Упорядоченный ряд чисел: 17, 18, 19, 25, 28.

В наборе 5 чисел (нечетное количество). Медиана – это число, стоящее в середине, то есть на $(5+1)/2 = 3$-м месте.

Третьим числом в ряду является 19.

Ответ: 19

в)

Расположим числа из набора 25, 50, 25, 29, 27, 40, 28 в порядке возрастания.

Упорядоченный ряд чисел: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50.

В наборе 7 чисел (нечетное количество). Медиана – это число, стоящее в середине, то есть на $(7+1)/2 = 4$-м месте.

Четвертым числом в ряду является 28.

Ответ: 28

58 Найдите медиану набора чисел:

а) 9, 2, 8, 4;

б) 8, 9, 5, 7, 1, 3;

в) 12, 11, 18, 10, 22, 17, 11, 14.

Медиана – это число, которое находится в середине упорядоченного набора чисел. Чтобы найти медиану, необходимо сначала расставить все числа из набора в порядке возрастания. Если количество чисел в наборе нечетное, то медиана – это число, стоящее ровно посередине. Если количество чисел четное, то медиана – это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

а)

Дан набор чисел: 9, 2, 8, 4.
1. Сначала упорядочим набор по возрастанию: 2, 4, 8, 9.
2. Количество чисел в наборе – 4 (четное). Значит, медиана будет равна среднему арифметическому двух средних чисел. В данном случае это 4 и 8.
3. Вычислим медиану:
$M = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6.

б)

Дан набор чисел: 8, 9, 5, 7, 1, 3.
1. Упорядочим набор по возрастанию: 1, 3, 5, 7, 8, 9.
2. Количество чисел в наборе – 6 (четное). Медиана будет равна среднему арифметическому двух средних чисел. В данном случае это 5 и 7.
3. Вычислим медиану:
$M = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: 6.

в)

Дан набор чисел: 12, 11, 18, 10, 22, 17, 11, 14.
1. Упорядочим набор по возрастанию: 10, 11, 11, 12, 14, 17, 18, 22.
2. Количество чисел в наборе – 8 (четное). Медиана будет равна среднему арифметическому двух средних чисел. В данном случае это четвертое и пятое числа: 12 и 14.
3. Вычислим медиану:
$M = \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Ответ: 13.

59 Пользуясь таблицей 4 (с. 9), найдите медиану величины «время забега на 100 м» и медианных представителей, то есть бегунов, которые показали время, наиболее близкое к медианному значению.

Для решения задачи необходимо найти медиану для набора данных из таблицы 4. Медиана — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию или убыванию набор данных на две равные части. Сначала выпишем все результаты забега и упорядочим их.

Исходные данные (время в секундах) для 25 бегунов:

17,1; 18,2; 16,5; 15,5; 17,3; 18,4; 19,2; 16,1; 17,8; 15,2; 18,6; 17,0; 17,5; 16,8; 17,7; 18,1; 16,6; 17,5; 18,3; 19,5; 17,2; 18,8; 17,9; 16,4; 18,0.

Теперь упорядочим этот ряд по возрастанию:

15,2; 15,5; 16,1; 16,4; 16,5; 16,6; 16,8; 17,0; 17,1; 17,2; 17,3; 17,5; 17,5; 17,7; 17,8; 17,9; 18,0; 18,1; 18,2; 18,3; 18,4; 18,6; 18,8; 19,2; 19,5.

Медиана величины «время забега на 100 м»

Всего в наборе данных 25 значений ($n=25$). Так как количество значений нечетное, медиана — это число, которое находится ровно посередине упорядоченного ряда. Номер этого элемента можно найти по формуле:

$N_{медианы} = \frac{n+1}{2}$

Подставим наше значение $n=25$:

$N_{медианы} = \frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Это означает, что медианой является 13-й элемент в упорядоченном ряду. Найдем этот элемент, отсчитав 13 позиций с начала ряда. 13-м значением является 17,5.

Ответ: медиана величины «время забега на 100 м» равна 17,5 с.

Медианные представители

Медианные представители — это бегуны, которые показали время, равное медианному значению. Мы установили, что медианное значение равно 17,5 с. Теперь найдем в исходной таблице 4 учащихся, которые показали именно этот результат.

Согласно таблице, это:

• Новиков С. (результат 17,5 с)
• Тарасов Б. (результат 17,5 с)

Ответ: медианными представителями являются Новиков С. и Тарасов Б.

60 Пользуясь таблицей 19 (с. 24), найдите медиану величины «площадь поверхности океана» и медианного представителя.

Для решения задачи необходимо найти медиану ряда данных. Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного набора чисел. Если количество чисел в наборе четное, то медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел.

Задача ссылается на таблицу 19, которая не приведена. Будем использовать стандартные данные о площади поверхности четырех океанов (в млн км²):

• Тихий океан: 178,7
• Атлантический океан: 91,7
• Индийский океан: 76,2
• Северный Ледовитый океан: 14,8

1. Сначала упорядочим (отсортируем) эти значения по возрастанию:

14,8; 76,2; 91,7; 178,7.

2. В нашем наборе данных 4 элемента, то есть четное число. Поэтому для нахождения медианы нужно взять два центральных элемента и найти их среднее арифметическое. Центральными элементами являются 76,2 и 91,7.

3. Вычислим медиану:

$ M = \frac{76,2 + 91,7}{2} = \frac{167,9}{2} = 83,95 $

Таким образом, медиана величины «площадь поверхности океана» равна 83,95 млн км².

4. «Медианный представитель» — это объект или объекты, чьи значения являются центральными в упорядоченном ряду. Поскольку у нас четное число элементов, медианными представителями будут два объекта, по значениям которых рассчитывалась медиана. Значение 76,2 млн км² соответствует Индийскому океану, а 91,7 млн км² — Атлантическому океану.

Ответ: медиана величины «площадь поверхности океана» равна 83,95 млн км², медианные представители — Индийский и Атлантический океаны.

61 Пользуясь таблицей 24 (с. 35), ответьте на вопросы.

a) На сколько изменилось среднее число жителей крупнейших городов России к 2021 г. по сравнению с 2010 г.? Можно ли считать, что средняя численность населения выросла за эти одиннадцать лет?

б) Найдите медиану числа жителей городов в 2010 г. Сравните её с медианой, вычисленной для 2021 г. Найдите медианных представителей в эти годы.

а) Для того чтобы найти, на сколько изменилось среднее число жителей, необходимо сначала вычислить среднее арифметическое для 2010 и 2021 годов. В таблице 24 представлено население 16 крупнейших городов России (в тыс. чел.).
Среднее арифметическое вычисляется по формуле: $C = \frac{S}{n}$, где $S$ - сумма всех значений, а $n$ - их количество. В нашем случае $n=16$.

Расчет для 2010 г.:
Сумма жителей: $S_{2010} = 11504 + 4880 + 1474 + 1350 + 1144 + 1251 + 1130 + 1165 + 1154 + 1089 + 1062 + 974 + 890 + 991 + 1021 + 745 = 32824$ тыс. чел.
Среднее число жителей: $C_{2010} = \frac{32824}{16} = 2051.5$ тыс. чел.

Расчет для 2021 г.:
Сумма жителей: $S_{2021} = 12655 + 5384 + 1634 + 1495 + 1257 + 1244 + 1188 + 1145 + 1126 + 1138 + 1126 + 1188 + 1052 + 1034 + 1019 + 1099 = 34784$ тыс. чел.
Среднее число жителей: $C_{2021} = \frac{34784}{16} = 2174$ тыс. чел.

Изменение среднего числа жителей:
$C_{2021} - C_{2010} = 2174 - 2051.5 = 122.5$ тыс. чел.

Так как среднее число жителей в 2021 г. (2174 тыс. чел.) больше, чем в 2010 г. (2051.5 тыс. чел.), можно считать, что средняя численность населения крупнейших городов выросла за эти одиннадцать лет.

Ответ: Среднее число жителей крупнейших городов России выросло на 122,5 тыс. человек. Да, можно считать, что средняя численность населения выросла.

б) Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных пополам. Поскольку у нас 16 городов (чётное число), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных значений в упорядоченном ряду. Это будут 8-е и 9-е значения.

Медиана для 2010 г.:
Сначала упорядочим данные о численности населения за 2010 г. по возрастанию (в тыс. чел.):
745, 890, 974, 991, 1021, 1062, 1089, 1130, 1144, 1154, 1165, 1251, 1350, 1474, 4880, 11504.
Два центральных значения — это 1130 и 1144.
Медиана: $M_{2010} = \frac{1130 + 1144}{2} = \frac{2274}{2} = 1137$ тыс. чел.
Медианные представители в 2010 г. — это города, соответствующие 8-му и 9-му значениям: Челябинск (1130 тыс. чел.) и Казань (1144 тыс. чел.).

Медиана для 2021 г.:
Упорядочим данные о численности населения за 2021 г. по возрастанию (в тыс. чел.):
1019, 1034, 1052, 1099, 1126, 1126, 1138, 1145, 1188, 1188, 1244, 1257, 1495, 1634, 5384, 12655.
Два центральных значения — это 1145 и 1188.
Медиана: $M_{2021} = \frac{1145 + 1188}{2} = \frac{2333}{2} = 1166.5$ тыс. чел.
Медианные представители в 2021 г. — это города, соответствующие 8-му и 9-му значениям: Самара (1145 тыс. чел.) и Челябинск (1188 тыс. чел.) или Красноярск (1188 тыс. чел.).

Сравнение медиан:
Медиана для 2021 г. (1166,5 тыс. чел.) больше, чем медиана для 2010 г. (1137 тыс. чел.). Это, как и среднее значение, указывает на рост численности населения в типичном крупном городе из списка.

Ответ: Медиана числа жителей в 2010 г. равна 1137 тыс. чел., а в 2021 г. — 1166,5 тыс. чел. Медиана выросла. Медианные представители в 2010 г. — Челябинск и Казань. Медианные представители в 2021 г. — Самара и Челябинск (или Красноярск).

62 Рассмотрите данные о числе жителей крупнейших городов России (см. табл. 25), исключив Москву и Санкт-Петербург.

а) Вычислите среднее значение числа жителей этих городов в 2021 г.

б) Вычислите медиану числа жителей этих городов в 2021 г.

в) Сильно ли, с вашей точки зрения, различаются медиана и среднее значение?

Для решения задачи воспользуемся данными о численности населения городов-миллионников России на 1 января 2021 года (согласно данным Росстата), исключив Москву и Санкт-Петербург. В этот список входят 14 городов:

• Новосибирск: 1 633 595 чел.
• Екатеринбург: 1 495 066 чел.
• Казань: 1 257 341 чел.
• Нижний Новгород: 1 244 254 чел.
• Челябинск: 1 187 960 чел.
• Красноярск: 1 187 771 чел.
• Самара: 1 144 759 чел.
• Уфа: 1 125 933 чел.
• Ростов-на-Дону: 1 137 704 чел.
• Омск: 1 129 281 чел.
• Краснодар: 1 099 344 чел.
• Воронеж: 1 050 604 чел.
• Пермь: 1 042 763 чел.
• Волгоград: 1 004 763 чел.

а) Вычислите среднее значение числа жителей этих городов в 2021 г.

Среднее арифметическое значение вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Формула для среднего значения ($\bar{x}$) выглядит так:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
где $x_i$ — число жителей в i-том городе, а $n$ — общее количество городов.
Сначала найдем сумму числа жителей всех 14 городов:
$S = 1633595 + 1495066 + 1257341 + 1244254 + 1187960 + 1187771 + 1144759 + 1137704 + 1129281 + 1125933 + 1099344 + 1050604 + 1042763 + 1004763 = 16741138$
Теперь разделим сумму на количество городов ($n=14$):
$\bar{x} = \frac{16741138}{14} \approx 1195795.57$
Округлим до целого числа, так как речь идет о людях.

Ответ: Среднее значение числа жителей составляет примерно 1 195 796 человек.

б) Вычислите медиану числа жителей этих городов в 2021 г.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Сначала отсортируем данные о численности населения по возрастанию:

1. Волгоград: 1 004 763
2. Пермь: 1 042 763
3. Воронеж: 1 050 604
4. Краснодар: 1 099 344
5. Уфа: 1 125 933
6. Омск: 1 129 281
7. Ростов-на-Дону: 1 137 704
8. Самара: 1 144 759
9. Красноярск: 1 187 771
10. Челябинск: 1 187 960
11. Нижний Новгород: 1 244 254
12. Казань: 1 257 341
13. Екатеринбург: 1 495 066
14. Новосибирск: 1 633 595

Поскольку у нас четное число наблюдений ($n=14$), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных значений. Это 7-е и 8-е значения в отсортированном списке.
7-е значение: 1 137 704
8-е значение: 1 144 759
Вычисляем медиану ($Me$):
$Me = \frac{1137704 + 1144759}{2} = \frac{2282463}{2} = 1141231.5$

Ответ: Медиана числа жителей составляет 1 141 231.5 человек.

в) Сильно ли, с вашей точки зрения, различаются медиана и среднее значение?

Сравним полученные значения:
Среднее значение $\approx$ 1 195 796 чел.
Медиана = 1 141 231.5 чел.
Абсолютная разница между ними составляет:
$1195796 - 1141231.5 = 54564.5$ человека.
Чтобы оценить, насколько "сильно" это различие, можно рассчитать относительную разницу в процентах, например, по отношению к медиане:
$\frac{54564.5}{1141231.5} \times 100\% \approx 4.78\%$
Среднее значение выше медианы. Это указывает на "правостороннюю асимметрию" в данных: наличие нескольких городов (Новосибирск, Екатеринбург) с населением, значительно превышающим население большинства других городов в выборке, "тянет" среднее значение вверх. Медиана же менее чувствительна к таким выбросам и лучше отражает "типичный" город-миллионник из данного списка.

Ответ: Разница составляет почти 55 тысяч человек, или около 4.8%. Такое различие нельзя назвать незначительным, но и не является оно чрезмерно большим. Можно охарактеризовать его как умеренное. Оно наглядно показывает, как несколько крупных значений в наборе данных могут смещать среднее арифметическое относительно медианы.

63 В таблице 23 (с. 35) даны сведения об урожайности зерновых культур в России в 2009–2018 гг. Найдите медиану урожайности и среднюю урожайность зерновых культур в России за период:

а) 2009–2018 гг.;

б) 2009–2013 гг.;

в) 2014–2018 гг.

Сравните между собой медиану и среднее за каждый период. Значительно ли, с вашей точки зрения, они отличаются друг от друга?

Поскольку таблица 23 не предоставлена, для решения задачи воспользуемся официальными данными Росстата об урожайности зерновых и зернобобовых культур в России (в ц/га):

• 2009 г.: 23,2
• 2010 г.: 19,1
• 2011 г.: 23,9
• 2012 г.: 18,3
• 2013 г.: 22,0
• 2014 г.: 23,9
• 2015 г.: 23,8
• 2016 г.: 26,8
• 2017 г.: 29,8
• 2018 г.: 25,9

а) 2009—2018 гг.;;

Для периода 2009—2018 гг. (10 лет) рассчитаем среднюю урожайность и медиану.
Средняя урожайность (среднее арифметическое):
$Среднее = \frac{23,2 + 19,1 + 23,9 + 18,3 + 22,0 + 23,9 + 23,8 + 26,8 + 29,8 + 25,9}{10} = \frac{236,7}{10} = 23,67$ ц/га.
Медиана урожайности. Сначала упорядочим ряд данных по возрастанию:
18,3; 19,1; 22,0; 23,2; 23,8; 23,9; 23,9; 25,9; 26,8; 29,8.
Так как в ряду четное число элементов (10), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (5-го и 6-го):
$Медиана = \frac{23,8 + 23,9}{2} = 23,85$ ц/га.
Ответ: средняя урожайность – 23,67 ц/га, медиана – 23,85 ц/га.

б) 2009—2013 гг.;;

Для периода 2009—2013 гг. (5 лет) имеем данные: 23,2; 19,1; 23,9; 18,3; 22,0.
Средняя урожайность:
$Среднее = \frac{23,2 + 19,1 + 23,9 + 18,3 + 22,0}{5} = \frac{106,5}{5} = 21,3$ ц/га.
Медиана урожайности. Упорядоченный ряд:
18,3; 19,1; 22,0; 23,2; 23,9.
Так как в ряду нечетное число элементов (5), медиана равна центральному (3-му) элементу.
$Медиана = 22,0$ ц/га.
Ответ: средняя урожайность – 21,3 ц/га, медиана – 22,0 ц/га.

в) 2014—2018 гг.

Для периода 2014—2018 гг. (5 лет) имеем данные: 23,9; 23,8; 26,8; 29,8; 25,9.
Средняя урожайность:
$Среднее = \frac{23,9 + 23,8 + 26,8 + 29,8 + 25,9}{5} = \frac{130,2}{5} = 26,04$ ц/га.
Медиана урожайности. Упорядоченный ряд:
23,8; 23,9; 25,9; 26,8; 29,8.
Так как в ряду нечетное число элементов (5), медиана равна центральному (3-му) элементу.
$Медиана = 25,9$ ц/га.
Ответ: средняя урожайность – 26,04 ц/га, медиана – 25,9 ц/га.

Сравнение медианы и среднего за каждый период

а) 2009—2018 гг.: среднее (23,67 ц/га) и медиана (23,85 ц/га) очень близки друг к другу. Разница составляет всего 0,18 ц/га. С моей точки зрения, это различие незначительно. Оно говорит о том, что данные за весь период распределены достаточно симметрично.
б) 2009—2013 гг.: среднее (21,3 ц/га) заметно ниже медианы (22,0 ц/га). Разница составляет 0,7 ц/га. Это расхождение можно считать значительным. Оно вызвано двумя годами с аномально низкой урожайностью (2010 и 2012), которые "утянули" среднее значение вниз. Медиана в данном случае лучше отражает "типичную" урожайность в этот период.
в) 2014—2018 гг.: среднее (26,04 ц/га) и медиана (25,9 ц/га) снова очень близки. Разница составляет 0,14 ц/га. Это различие незначительно. Среднее значение немного выше медианы за счет очень успешного 2017 года, но это не сильно искажает общую картину.

64 Средний рост учащихся в классе — 165 см. Медиана роста равна 168 см.

а) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 165 см?

б) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 168 см?

в) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик ростом больше 165, но меньше 168 см?

г) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик, рост которого ровно 168 см?

Давайте разберем каждый пункт, основываясь на определениях среднего арифметического и медианы.

Средний рост (среднее арифметическое) — это сумма всех ростов, деленная на количество учеников. Если средний рост равен 165 см, это значит, что если бы все ученики были одного роста, он был бы 165 см.

Медиана роста — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию список ростов пополам. То есть, как минимум половина учеников имеет рост не меньше медианного, и как минимум половина — не больше медианного. В данном случае медиана равна 168 см.

а) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 165 см?

Да, обязательно. По определению медианы, не менее половины учеников имеют рост, равный или больший 168 см. Так как $168 \text{ см} > 165 \text{ см}$, то все эти ученики (составляющие не менее половины класса) точно выше 165 см.

Ответ: Да, обязательно.

б) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 168 см?

Нет, не обязательно. По определению, не меньше половины учеников имеют рост, равный или больший 168 см. Это не означает, что они должны быть строго выше 168 см.

Рассмотрим пример. Пусть в классе 3 ученика с ростом 159 см, 168 см, 168 см.
Средний рост: $(159 + 168 + 168) / 3 = 495 / 3 = 165$ см.
Медиана (рост среднего ученика в упорядоченном ряду): 168 см.
Условия задачи выполняются. Однако в этом классе нет ни одного ученика выше 168 см (их 0, что меньше половины).

Ответ: Нет, не обязательно.

в) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик ростом больше 165, но меньше 168 см?

Нет, не обязательно. Мы можем подобрать такой набор ростов, в котором не будет учеников в этом диапазоне.

Рассмотрим пример. Пусть в классе 4 ученика с ростом 150 см, 168 см, 168 см, 174 см.
Средний рост: $(150 + 168 + 168 + 174) / 4 = 660 / 4 = 165$ см.
Медиана (среднее двух центральных значений): $(168 + 168) / 2 = 168$ см.
Условия задачи выполняются, но ни одного ученика с ростом в интервале $(165, 168)$ нет.

Ответ: Нет, не обязательно.

г) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик, рост которого ровно 168 см?

Нет, не обязательно. Это было бы обязательно, если бы число учеников в классе было нечетным (тогда медиана равна росту одного из учеников). Но если число учеников четное, медиана является средним арифметическим ростов двух центральных учеников, и их рост может не быть равен 168 см.

Рассмотрим пример. Пусть в классе 4 ученика с ростом 154 см, 167 см, 169 см, 170 см.
Средний рост: $(154 + 167 + 169 + 170) / 4 = 660 / 4 = 165$ см.
Медиана: $(167 + 169) / 2 = 336 / 2 = 168$ см.
Условия задачи выполняются, но в классе нет ученика с ростом ровно 168 см.

Ответ: Нет, не обязательно.

105 В случайном опыте есть события $A$ и $B$. Найдите вероятность пересечения событий $A \cap B$, если известно, что:

а) $P(B) = 0,3$ и $P(A|B) = 0,5$;

б) $P(B) = \frac{1}{5}$ и $P(A|B) = \frac{5}{8}$;

в) $P(B) = 0,72$ и $P(A|B) = 0,25$;

г) $P(B) = 0,34$ и $P(A|B) = 0,2$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула условной вероятности, которая связывает вероятность пересечения двух событий с условной вероятностью одного из них. Формула условной вероятности события $A$ при условии наступления события $B$ выглядит так:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Из этой формулы мы можем выразить искомую вероятность пересечения событий $A$ и $B$ (обозначается как $A \cap B$):

$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Теперь применим эту формулу к каждому из подпунктов.

а)

Дано: $P(B) = 0,3$ и $P(A|B) = 0,5$.

Вычисляем вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = 0,3 \cdot 0,5 = 0,15$.

Ответ: 0,15

б)

Дано: $P(B) = \frac{1}{5}$ и $P(A|B) = \frac{5}{8}$.

Вычисляем вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 8} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в)

Дано: $P(B) = 0,72$ и $P(A|B) = 0,25$.

Вычисляем вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = 0,72 \cdot 0,25 = 0,18$.

Ответ: 0,18

г)

Дано: $P(B) = 0,34$ и $P(A|B) = 0,2$.

Вычисляем вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = 0,34 \cdot 0,2 = 0,068$.

Ответ: 0,068

106 В некотором городе 7% населения — студенты. Из всех студентов 60% учатся в университете. Найдите вероятность того, что случайно выбранный житель этого города является студентом университета.

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранный житель города является студентом университета, нужно найти, какую долю от всего населения составляют студенты университета.

Сначала переведем данные из условия задачи в десятичные дроби:
Доля студентов от всего населения города составляет $7\%$, что равно $0.07$.
Доля студентов, которые учатся в университете, от общего числа студентов составляет $60\%$, что равно $0.6$.

Для нахождения искомой вероятности необходимо умножить долю студентов в городе на долю тех из них, кто учится в университете. Это является произведением вероятностей: вероятность того, что случайный житель — студент, умноженная на условную вероятность того, что он учится в университете, при условии, что он студент.

Выполним вычисление:
$0.07 \times 0.6 = 0.042$.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный житель этого города является студентом университета, равна 0.042.

Ответ: 0,042

107 В посёлке 40% взрослого населения занято в сельском хозяйстве, причём 5% взрослого населения посёлка работают в агропромышленном холдинге «Нива». Для опроса случайно выбран житель этого посёлка, и оказалось, что он занят в сельском хозяйстве. При этом условии найдите условную вероятность того, что он работает в холдинге «Нива».

Для решения этой задачи воспользуемся понятием условной вероятности.

Пусть событие A заключается в том, что случайно выбранный взрослый житель посёлка занят в сельском хозяйстве.
Пусть событие B заключается в том, что случайно выбранный взрослый житель посёлка работает в агропромышленном холдинге «Нива».

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:

• Вероятность события A: 40% взрослого населения занято в сельском хозяйстве.
  $P(A) = 0.40$
• Вероятность события B: 5% взрослого населения работает в холдинге «Нива».
  $P(B) = 0.05$

Нам нужно найти условную вероятность события B при условии, что событие A уже произошло. То есть, мы ищем вероятность того, что житель работает в холдинге «Нива», если известно, что он занят в сельском хозяйстве. Эта вероятность обозначается как $P(B|A)$.

Формула условной вероятности имеет вид:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
где $P(A \cap B)$ — это вероятность одновременного наступления событий A и B (то есть, житель и занят в сельском хозяйстве, и работает в холдинге «Нива»).

Поскольку холдинг «Нива» — это сельскохозяйственное предприятие, то все его работники заняты в сельском хозяйстве. Это означает, что событие B (работа в «Ниве») является подмножеством события A (занятость в сельском хозяйстве). Таким образом, пересечение событий A и B — это просто событие B.
Следовательно, $P(A \cap B) = P(B) = 0.05$.

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу условной вероятности:
$P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0.05}{0.40}$

Выполним вычисление:
$P(B|A) = \frac{0.05}{0.40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} = 0.125$

Таким образом, условная вероятность того, что случайно выбранный житель, занятый в сельском хозяйстве, работает в холдинге «Нива», равна 0.125.

Ответ: 0.125

108 На кассе в магазине продаются леденцы. В какой-то момент в коробке осталось 10 красных, 9 синих и 6 зелёных леденцов. Таня, Ваня и Маня по очереди покупают по одному леденцу. Кассир не глядя достаёт леденцы из коробки. Найдите вероятность того, что:

а) Таня и Ваня получат зелёные, а Маня — красный леденец;

б) Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный;

в) Таня получит зелёный леденец, Ваня — красный, а Маня — синий;

г) все трое получат красные леденцы.

Для решения задачи сначала определим общее количество леденцов в коробке. В коробке находится 10 красных, 9 синих и 6 зелёных леденцов.

Общее количество леденцов: $10 + 9 + 6 = 25$.

Таня, Ваня и Маня берут леденцы по очереди. Это зависимые события, так как каждый взятый леденец уменьшает общее количество леденцов и количество леденцов определённого цвета для следующего выбора.

а) Таня и Ваня получат зелёные, а Маня — красный леденец

Рассчитаем вероятность для каждого события последовательно:

1. Вероятность того, что Таня (первая) получит зелёный леденец. В коробке 6 зелёных леденцов из 25.

$P_1 = \frac{6}{25}$

2. После того как Таня взяла зелёный леденец, в коробке осталось 24 леденца, из них 5 зелёных. Вероятность того, что Ваня (второй) также получит зелёный леденец:

$P_2 = \frac{5}{24}$

3. После того как Таня и Ваня взяли по зелёному леденцу, в коробке осталось 23 леденца, из них все 10 красные. Вероятность того, что Маня (третья) получит красный леденец:

$P_3 = \frac{10}{23}$

Итоговая вероятность равна произведению вероятностей этих трёх событий:

$P_a = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{6}{25} \times \frac{5}{24} \times \frac{10}{23} = \frac{300}{13800} = \frac{1}{46}$

Ответ: $\frac{1}{46}$

б) Таня и Маня получат синие леденцы, а Ваня — красный

Порядок выбора детей фиксирован: Таня, затем Ваня, затем Маня. Следовательно, последовательность цветов леденцов: синий, красный, синий.

1. Вероятность, что Таня (первая) получит синий леденец (9 синих из 25):

$P_1 = \frac{9}{25}$

2. В коробке осталось 24 леденца. Вероятность, что Ваня (второй) получит красный леденец (10 красных из 24):

$P_2 = \frac{10}{24}$

3. В коробке осталось 23 леденца. Так как Таня взяла синий, их осталось 8. Вероятность, что Маня (третья) получит синий леденец:

$P_3 = \frac{8}{23}$

Итоговая вероятность:

$P_б = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{9}{25} \times \frac{10}{24} \times \frac{8}{23} = \frac{720}{13800} = \frac{6}{115}$

Ответ: $\frac{6}{115}$

в) Таня получит зелёный леденец, Ваня — красный, а Маня — синий

Последовательность цветов: зелёный, красный, синий.

1. Вероятность, что Таня (первая) получит зелёный леденец (6 зелёных из 25):

$P_1 = \frac{6}{25}$

2. В коробке осталось 24 леденца. Вероятность, что Ваня (второй) получит красный леденец (10 красных из 24):

$P_2 = \frac{10}{24}$

3. В коробке осталось 23 леденца. Вероятность, что Маня (третья) получит синий леденец (9 синих из 23):

$P_3 = \frac{9}{23}$

Итоговая вероятность:

$P_в = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{6}{25} \times \frac{10}{24} \times \frac{9}{23} = \frac{540}{13800} = \frac{9}{230}$

Ответ: $\frac{9}{230}$

г) все трое получат красные леденцы

Последовательность цветов: красный, красный, красный.

1. Вероятность, что Таня (первая) получит красный леденец (10 красных из 25):

$P_1 = \frac{10}{25}$

2. В коробке осталось 24 леденца, из них 9 красных. Вероятность, что Ваня (второй) получит красный леденец:

$P_2 = \frac{9}{24}$

3. В коробке осталось 23 леденца, из них 8 красных. Вероятность, что Маня (третья) получит красный леденец:

$P_3 = \frac{8}{23}$

Итоговая вероятность:

$P_г = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{10}{25} \times \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} = \frac{720}{13800} = \frac{6}{115}$

Ответ: $\frac{6}{115}$

109 Найдите вероятность получить $n$ разных результатов, бросив игральную кость $n$ раз, если:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 5$;

г) $n = 6$;

д) $n = 7$.

а) n = 3;

Общее число возможных исходов при броске игральной кости $n$ раз равно $6^n$, так как каждый из $n$ бросков имеет 6 независимых вариантов. В данном случае, при $n=3$, общее число исходов равно $6^3 = 216$.Число благоприятных исходов — это количество способов получить 3 разных результата. Для первого броска есть 6 возможных результатов. Для второго броска, чтобы он отличался от первого, остаётся 5 вариантов. Для третьего, чтобы он отличался от первых двух, остаётся 4 варианта. Таким образом, число благоприятных исходов равно $6 \times 5 \times 4 = 120$.Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{6 \times 5 \times 4}{6^3} = \frac{120}{216}$.Сократим дробь: $P = \frac{120 \div 24}{216 \div 24} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

б) n = 4;

При $n=4$ общее число исходов равно $6^4 = 1296$.Число благоприятных исходов, при которых все четыре результата различны, вычисляется как $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.Вероятность события:$P = \frac{360}{1296}$.Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 72: $P = \frac{360 \div 72}{1296 \div 72} = \frac{5}{18}$.

Ответ: $\frac{5}{18}$.

в) n = 5;

При $n=5$ общее число исходов равно $6^5 = 7776$.Число благоприятных исходов, при которых все пять результатов различны, равно $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$.Вероятность события:$P = \frac{720}{7776}$.Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 144: $P = \frac{720 \div 144}{7776 \div 144} = \frac{5}{54}$.

Ответ: $\frac{5}{54}$.

г) n = 6;

При $n=6$ общее число исходов равно $6^6 = 46656$.Число благоприятных исходов, при которых все шесть результатов различны (т.е. выпали все числа от 1 до 6), равно числу перестановок из 6 элементов: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.Вероятность события:$P = \frac{720}{46656}$.Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 144: $P = \frac{720 \div 144}{46656 \div 144} = \frac{5}{324}$.

Ответ: $\frac{5}{324}$.

д) n = 7.

Так как стандартная игральная кость имеет только 6 граней, максимальное число различных результатов, которые могут выпасть, равно 6. Согласно принципу Дирихле, при 7 бросках как минимум два результата обязательно совпадут.Следовательно, событие "получить 7 разных результатов" является невозможным. Число благоприятных исходов для такого события равно 0.Вероятность невозможного события равна 0.$P = \frac{0}{6^7} = 0$.

Ответ: 0.

110 В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток, не глядя в ящик, чтобы среди вынутых перчаток нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая перчатка:

а) наверняка (с вероятностью 1);

б) с вероятностью не меньше чем 0,95?

В ящике находятся 20 левых и 20 правых перчаток, всего 40 перчаток.

а) наверняка (с вероятностью 1)

Чтобы гарантированно (с вероятностью 1) достать хотя бы одну левую и одну правую перчатку, нужно рассмотреть наихудший возможный сценарий. Этот принцип также известен как принцип Дирихле.

Наихудший случай — это когда мы последовательно вынимаем перчатки только одного вида. В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Допустим, нам не везет, и мы вынимаем только левые перчатки. Мы можем вынуть 20 левых перчаток подряд.

После того как мы вынули 20 перчаток, и все они оказались одного вида (например, левые), в ящике остались только перчатки другого вида (правые). Следовательно, следующая, 21-я перчатка, которую мы вынем, обязательно будет правой.

Таким образом, вынув $20 + 1 = 21$ перчатку, мы гарантированно будем иметь как минимум одну правую и как минимум 20 левых (или наоборот). В любом случае, у нас будет хотя бы одна левая и одна правая перчатка.

Ответ: 21 перчатка.

б) с вероятностью не меньше чем 0,95

Пусть $k$ — количество перчаток, которые мы вынимаем. Общее число перчаток в ящике $N = 40$ (20 левых и 20 правых).

Событие $A$ — «среди $k$ вынутых перчаток есть хотя бы одна левая и хотя бы одна правая».

Проще вычислить вероятность противоположного события $\bar{A}$. Противоположное событие $\bar{A}$ — «все $k$ вынутых перчаток одного вида» (то есть все левые или все правые).

Вероятность события $A$ связана с вероятностью $\bar{A}$ формулой: $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Мы ищем наименьшее $k$, для которого $P(A) \geq 0,95$, что эквивалентно $1 - P(\bar{A}) \geq 0,95$ или $P(\bar{A}) \leq 0,05$.

Вероятность события $\bar{A}$ равна сумме вероятностей двух несовместных событий: «все $k$ перчаток левые» и «все $k$ перчаток правые».

$P(\bar{A}) = P(\text{все левые}) + P(\text{все правые})$

Общее число способов вынуть $k$ перчаток из 40 равно числу сочетаний $C_{40}^k = \binom{40}{k}$.

Число способов вынуть $k$ левых перчаток из 20 равно $C_{20}^k = \binom{20}{k}$.

Число способов вынуть $k$ правых перчаток из 20 также равно $C_{20}^k = \binom{20}{k}$.

Тогда вероятность вынуть все левые перчатки: $P(\text{все левые}) = \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k}$.

Вероятность вынуть все правые перчатки: $P(\text{все правые}) = \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k}$.

Следовательно, $P(\bar{A}) = \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k} + \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k} = 2 \frac{C_{20}^k}{C_{40}^k}$.

Нам нужно найти наименьшее целое $k$, при котором выполняется неравенство:

$2 \frac{\binom{20}{k}}{\binom{40}{k}} \leq 0,05$

Проверим значения для $k$, начиная с малых чисел.

При $k=4$:
$P(\bar{A}) = 2 \frac{\binom{20}{4}}{\binom{40}{4}} = 2 \cdot \frac{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 2 \cdot \frac{4845}{91390} = \frac{9690}{91390} \approx 0,106$
$0,106 > 0,05$, значит, 4 перчаток недостаточно.

При $k=5$:
$P(\bar{A}) = 2 \frac{\binom{20}{5}}{\binom{40}{5}} = 2 \cdot \frac{\frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 2 \cdot \frac{15504}{658008} = \frac{31008}{658008} \approx 0,0471$
$0,0471 \leq 0,05$, это условие выполняется.

Таким образом, наименьшее количество перчаток, которое нужно достать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 получить хотя бы одну левую и одну правую, равно 5.
Вероятность успеха при $k=5$ составляет $P(A) = 1 - P(\bar{A}) \approx 1 - 0,0471 = 0,9529$, что больше 0,95.

Ответ: 5 перчаток.