Страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

67 В таблице 28 приведены данные о производстве зерновых культур в России в 2011—2020 гг.

Таблица 28. Производство зерновых культур в России

Год: 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019, 2020

Производство зерновых, млн т: 94,2, 70,9, 92,4, 105,2, 104,7, 120,7, 135,5, 113,2, 120,6, 133,0

Урожайность зерновых, ц/га: 22,4, 18,3, 22,0, 24,1, 23,7, 26,2, 29,2, 27,2, 26,6, 28,6

Найдите наибольшее, наименьшее значения и размах:

а) производства зерновых культур;

б) урожайности зерновых культур.

а) производства зерновых культур;
Чтобы найти требуемые значения, выпишем данные по производству зерновых культур (в млн т) из таблицы в виде числового ряда:
94,2; 70,9; 92,4; 105,2; 104,7; 120,7; 135,5; 113,2; 120,6; 133,0.
Сравнив числа в этом ряду, определим наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее значение: 135,5 млн т (этот показатель был достигнут в 2017 году).
Наименьшее значение: 70,9 млн т (этот показатель был в 2012 году).
Размах ряда данных — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями. Вычислим размах:
$135,5 - 70,9 = 64,6$ млн т.
Ответ: наибольшее значение — 135,5 млн т, наименьшее значение — 70,9 млн т, размах — 64,6 млн т.

б) урожайности зерновых культур.
Аналогично, выпишем данные по урожайности зерновых культур (в ц/га) из таблицы в виде числового ряда:
22,4; 18,3; 22,0; 24,1; 23,7; 26,2; 29,2; 27,2; 26,6; 28,6.
Сравнив числа в этом ряду, определим наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее значение: 29,2 ц/га (показатель 2017 года).
Наименьшее значение: 18,3 ц/га (показатель 2012 года).
Вычислим размах как разность между наибольшим и наименьшим значениями:
$29,2 - 18,3 = 10,9$ ц/га.
Ответ: наибольшее значение — 29,2 ц/га, наименьшее значение — 18,3 ц/га, размах — 10,9 ц/га.

68 При сборке автомобильного двигателя нужно добиться того, чтобы все поршни двигателя имели одинаковую массу (размах должен быть не более 0,1 г).

Увеличить массу поршня нельзя, зато её можно уменьшить, высверливая углубления в специальных местах поршня. В таблице 29 показаны массы 8 поршней для одного двигателя.

а) Определите размах масс поршней.

б) Какой поршень не требует доработки?

Таблица 29. Массы поршней

а) Определите размах масс поршней.

Размах статистического ряда — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Для нахождения размаха масс поршней необходимо найти поршень с самой большой массой и поршень с самой маленькой массой из представленных в таблице.

Массы поршней: 124,4 г; 124,8 г; 125,2 г; 123,9 г; 124,1 г; 125,4 г; 125,2 г; 124,8 г.

Наибольшая масса ($M_{max}$) составляет 125,4 г (поршень 6).

Наименьшая масса ($M_{min}$) составляет 123,9 г (поршень 4).

Размах масс (Р) вычисляется по формуле: $Р = M_{max} - M_{min}$.

$Р = 125,4 - 123,9 = 1,5$ г.

Ответ: 1,5 г.

б) Какой поршень не требует доработки?

По условию задачи, массу поршня можно только уменьшить (высверливая углубления), но нельзя увеличить. Чтобы все поршни имели одинаковую массу, их все нужно подогнать под один стандарт. Таким стандартом должен стать поршень с наименьшей массой, так как массу всех остальных, более тяжелых поршней, можно уменьшить до этого значения.

Поршень с наименьшей массой — это поршень №4, его масса составляет 123,9 г. Массы всех остальных поршней будут уменьшены до этой величины. Следовательно, сам поршень №4 не требует доработки.

Ответ: поршень 4.

69 В таблице 30 даны результаты измерения температуры тела пациента в больнице.

Таблица 30. Измерение температуры

Время 7 ч 9 ч 11 ч 13 ч 15 ч 17 ч 19 ч 21 ч

$t, ^\circ C$ 38,3 39,2 39,2 39,4 39,1 38,7 381 38,2

а) Найдите наибольшее значение температуры, размах, среднее арифметическое и медиану температуры.

б) Найдите явно ошибочное значение. Как оно могло получиться?

в) Исключите ошибочное значение и найдите наибольшее значение температуры, размах, среднее арифметическое и медиану температуры после исключения ошибки.

г) На сколько градусов изменился размах после исключения ошибки?

д) На сколько изменилось среднее значение после исключения ошибки?

е) На сколько градусов изменилась медиана после исключения ошибки?

а) Для нахождения статистических характеристик рассмотрим исходный ряд данных температур: $38,3; 39,2; 39,2; 39,4; 39,1; 38,7; 381; 38,2$.
1. Наибольшее значение температуры. Сравнивая все значения, очевидно, что наибольшим является $381$ °C.
2. Размах температур. Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями. Наименьшее значение в ряду — $38,2$ °C.
Размах = $381 - 38,2 = 342,8$ °C.
3. Среднее арифметическое. Это сумма всех значений, деленная на их количество (которое равно 8).
Сумма = $38,3 + 39,2 + 39,2 + 39,4 + 39,1 + 38,7 + 381 + 38,2 = 653,1$.
Среднее арифметическое = $\frac{653,1}{8} = 81,6375$ °C.
4. Медиана температур. Сначала упорядочим ряд данных по возрастанию: $38,2; 38,3; 38,7; 39,1; 39,2; 39,2; 39,4; 381$.
Так как в ряду четное число элементов (8), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (4-го и 5-го).
Медиана = $\frac{39,1 + 39,2}{2} = \frac{78,3}{2} = 39,15$ °C.
Ответ: Наибольшее значение 381 °C, размах 342,8 °C, среднее арифметическое 81,6375 °C, медиана 39,15 °C.

б) Явно ошибочное значение в предоставленном ряду данных — это $381$ °C. Температура тела живого человека не может достигать таких экстремальных показателей. Вероятнее всего, это ошибка ввода данных. Например, при записи числа $38,1$ была пропущена десятичная запятая.
Ответ: Ошибочное значение — 381. Оно могло получиться в результате опечатки (пропущена запятая).

в) Исключим ошибочное значение $381$ из ряда. Новый ряд данных: $38,3; 39,2; 39,2; 39,4; 39,1; 38,7; 38,2$. Теперь в нем 7 элементов.
1. Наибольшее значение температуры. В новом ряду наибольшим значением является $39,4$ °C.
2. Размах температур. Наименьшее значение осталось прежним — $38,2$ °C.
Новый размах = $39,4 - 38,2 = 1,2$ °C.
3. Среднее арифметическое. Найдем сумму значений нового ряда и разделим на их количество (7).
Новая сумма = $38,3 + 39,2 + 39,2 + 39,4 + 39,1 + 38,7 + 38,2 = 272,1$.
Новое среднее арифметическое = $\frac{272,1}{7} \approx 38,87$ °C.
4. Медиана температур. Упорядочим новый ряд по возрастанию: $38,2; 38,3; 38,7; 39,1; 39,2; 39,2; 39,4$.
Так как в ряду нечетное число элементов (7), медиана равна центральному элементу (4-му).
Новая медиана = $39,1$ °C.
Ответ: Наибольшее значение 39,4 °C, размах 1,2 °C, среднее арифметическое $\approx 38,87$ °C, медиана 39,1 °C.

г) Чтобы найти, на сколько градусов изменился размах, вычтем новый размах из первоначального.
Изменение размаха = $342,8 - 1,2 = 341,6$ °C.
Ответ: Размах уменьшился на 341,6 °C.

д) Чтобы найти, на сколько изменилось среднее значение, вычтем новое среднее из первоначального.
Изменение среднего значения = $81,6375 - \frac{272,1}{7} \approx 81,6375 - 38,8714 \approx 42,7661$ °C.
Ответ: Среднее значение уменьшилось примерно на 42,77 °C.

е) Чтобы найти, на сколько градусов изменилась медиана, вычтем новую медиану из первоначальной.
Изменение медианы = $39,15 - 39,1 = 0,05$ °C.
Ответ: Медиана уменьшилась на 0,05 °C.

70 Как изменится размах числового набора, если:

а) к каждому числу набора прибавить 5;

б) от каждого числа набора отнять 3?

Размах числового набора — это разница между наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе. Пусть исходный числовой набор состоит из чисел $x_1, x_2, ..., x_n$. Обозначим наибольшее число в наборе как $x_{max}$, а наименьшее — как $x_{min}$. Тогда размах $R$ исходного набора равен:

$R = x_{max} - x_{min}$

а) к каждому числу набора прибавить 5;

Если к каждому числу набора прибавить 5, то мы получим новый набор чисел: $x_1+5, x_2+5, ..., x_n+5$.

Наибольшее число в новом наборе будет равно $x_{max} + 5$, так как если $x_{max}$ было самым большим, то и после прибавления 5 оно останется самым большим. Аналогично, наименьшее число в новом наборе будет равно $x_{min} + 5$.

Найдем новый размах $R_a$:

$R_a = (x_{max} + 5) - (x_{min} + 5) = x_{max} + 5 - x_{min} - 5 = x_{max} - x_{min} = R$

Таким образом, размах числового набора не изменится.

Ответ: размах не изменится.

б) от каждого числа набора отнять 3?

Если от каждого числа набора отнять 3, то мы получим новый набор чисел: $x_1-3, x_2-3, ..., x_n-3$.

Наибольшее число в новом наборе будет равно $x_{max} - 3$, а наименьшее — $x_{min} - 3$.

Найдем новый размах $R_b$:

$R_b = (x_{max} - 3) - (x_{min} - 3) = x_{max} - 3 - x_{min} + 3 = x_{max} - x_{min} = R$

Таким образом, размах числового набора также не изменится.

Ответ: размах не изменится.

117 Сергей Петрович гуляет по своему посёлку. Схема дорожек показана на рисунке 48. Он начинает прогулку в точке S и на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается). Найдите вероятность того, что Сергей Петрович в конце концов придёт:

а) на школьный двор;

б) к ферме;

в) на луг;

г) к ферме или к колодцу.

Рисунок 48

Для решения задачи представим схему дорожек в виде графа, где развилки являются вершинами, а дорожки — рёбрами. Сергей Петрович начинает движение из точки S. Условие "на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается)" будем интерпретировать как движение по направленному графу, где на каждой развилке вероятность выбора любого из последующих путей одинакова.

Обозначим ключевые развилки на схеме:

• $Р_1$ — первая развилка после старта S, от которой отходят 3 дорожки.
• $Р_{верх}$ — развилка на верхнем пути, ведущая к Клубу и к Лугу.
• $Р_{центр}$ — центральная развилка.
• $Р_{низ}$ — развилка на нижнем пути, ведущая к Магазину, Колодцу и к Ферме.
• $Р_{луг}$ — развилка, от которой все пути ведут на Луг.
• $Р_{школа}$ — развилка, от которой все пути ведут на Школьный двор.
• $Р_{ферма}$ — развилка, от которой все пути ведут к Ферме.

Вероятность попасть из S в $Р_1$ равна 1. На развилке $Р_1$ есть три пути (к $Р_{верх}$, $Р_{центр}$ и $Р_{низ}$), поэтому вероятность выбора каждого из них равна $1/3$.

Чтобы прийти на школьный двор, Сергей Петрович должен пройти через развилку $Р_{школа}$. Единственный путь к $Р_{школа}$ лежит через $Р_{центр}$.

Путь выглядит так: S → $Р_1$ → $Р_{центр}$ → $Р_{школа}$ → Школьный двор.

1. Вероятность выбрать путь от $Р_1$ к $Р_{центр}$ составляет $1/3$.
2. На развилке $Р_{центр}$ есть три дорожки (к $Р_{луг}$, $Р_{школа}$ и $Р_{ферма}$). Вероятность выбрать путь к $Р_{школа}$ составляет $1/3$.
3. От развилки $Р_{школа}$ все дорожки ведут на школьный двор, поэтому вероятность прийти туда равна 1.

Полная вероятность прийти на школьный двор равна произведению вероятностей на каждом этапе:

$P(\text{школьный двор}) = P(Р_1 \to Р_{центр}) \times P(Р_{центр} \to Р_{школа}) \times P(Р_{школа} \to \text{двор}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{9}$.

Ответ: $1/9$

Чтобы прийти к ферме, нужно пройти через развилку $Р_{ферма}$. К ней можно попасть двумя путями: через $Р_{центр}$ или через $Р_{низ}$.

Путь 1: S → $Р_1$ → $Р_{центр}$ → $Р_{ферма}$ → Ферма.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{центр}$ равна $1/3$.
• Вероятность пути $Р_{центр} \to Р_{ферма}$ равна $1/3$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{ферма}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Путь 2: S → $Р_1$ → $Р_{низ}$ → $Р_{ферма}$ → Ферма.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{низ}$ равна $1/3$.
• На развилке $Р_{низ}$ три дорожки (к Магазину, Колодцу и $Р_{ферма}$). Вероятность пути $Р_{низ} \to Р_{ферма}$ равна $1/3$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{ферма}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Так как эти два пути взаимоисключающие, общая вероятность достичь развилки $Р_{ферма}$ равна сумме их вероятностей: $P(\text{дойти до } Р_{ферма}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$.

От развилки $Р_{ферма}$ все пути ведут к ферме. Следовательно, итоговая вероятность равна:

$P(\text{ферма}) = \frac{2}{9} \times 1 = \frac{2}{9}$.

Ответ: $2/9$

Чтобы прийти на луг, нужно пройти через развилку $Р_{луг}$. К ней можно попасть двумя путями: через $Р_{верх}$ или через $Р_{центр}$.

Путь 1: S → $Р_1$ → $Р_{верх}$ → $Р_{луг}$ → Луг.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{верх}$ равна $1/3$.
• На развилке $Р_{верх}$ две дорожки (к Клубу и $Р_{луг}$). Вероятность пути $Р_{верх} \to Р_{луг}$ равна $1/2$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{луг}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Путь 2: S → $Р_1$ → $Р_{центр}$ → $Р_{луг}$ → Луг.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{центр}$ равна $1/3$.
• На развилке $Р_{центр}$ три дорожки. Вероятность пути $Р_{центр} \to Р_{луг}$ равна $1/3$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{луг}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Общая вероятность достичь развилки $Р_{луг}$ равна сумме вероятностей этих путей: $P(\text{дойти до } Р_{луг}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}$.

От развилки $Р_{луг}$ все пути ведут на луг. Следовательно, итоговая вероятность равна:

$P(\text{луг}) = \frac{5}{18} \times 1 = \frac{5}{18}$.

Ответ: $5/18$

Это сумма вероятностей двух несовместных событий: прийти к ферме и прийти к колодцу. $P(\text{ферма или колодец}) = P(\text{ферма}) + P(\text{колодец})$.

Вероятность прийти к ферме мы уже нашли: $P(\text{ферма}) = \frac{2}{9}$.

Теперь найдём вероятность прийти к колодцу. Путь к колодцу один: S → $Р_1$ → $Р_{низ}$ → Колодец.

1. Вероятность выбрать путь от $Р_1$ к $Р_{низ}$ составляет $1/3$.
2. На развилке $Р_{низ}$ три дорожки (к Магазину, Колодцу и $Р_{ферма}$). Вероятность выбрать путь к Колодцу равна $1/3$.

Вероятность прийти к колодцу: $P(\text{колодец}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Суммарная вероятность:

$P(\text{ферма или колодец}) = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$

118 В группе 18 человек, из них 7 мальчиков, остальные — девочки. По сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что на концах шеренги окажутся две девочки или два мальчика.

Для решения этой задачи по теории вероятностей сначала определим количество мальчиков и девочек в группе.

Всего в группе: 18 человек.
Количество мальчиков: 7 человек.
Количество девочек: $18 - 7 = 11$ человек.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что на концах шеренги окажутся два человека одного пола. Это событие можно разбить на два несовместных (взаимоисключающих) события:

• Событие A: на концах шеренги оказались два мальчика.
• Событие B: на концах шеренги оказались две девочки.

Искомая вероятность будет равна сумме вероятностей этих двух событий: $P = P(A) + P(B)$.

Найдем вероятность события A (на концах два мальчика).

Рассмотрим два места по краям шеренги. Вероятность того, что на первом из этих мест окажется мальчик, равна отношению числа мальчиков к общему числу человек: $P_1 = \frac{7}{18}$.

После того как один мальчик занял одно крайнее место, в группе осталось 17 человек, из которых 6 — мальчики. Теперь вероятность того, что на втором крайнем месте также окажется мальчик, составляет: $P_2 = \frac{6}{17}$.

Вероятность того, что оба этих события произойдут вместе (т.е. на обоих концах окажутся мальчики), равна произведению их вероятностей: $P(A) = P_1 \times P_2 = \frac{7}{18} \times \frac{6}{17} = \frac{42}{306}$.

Найдем вероятность события B (на концах две девочки).

Аналогично, вероятность того, что на первом крайнем месте окажется девочка, равна: $P_3 = \frac{11}{18}$.

После этого в группе останется 17 человек, из которых 10 — девочки. Вероятность того, что на втором крайнем месте тоже окажется девочка: $P_4 = \frac{10}{17}$.

Вероятность того, что на обоих концах окажутся девочки: $P(B) = P_3 \times P_4 = \frac{11}{18} \times \frac{10}{17} = \frac{110}{306}$.

Теперь найдем общую вероятность.

Сложим вероятности несовместных событий A и B: $P = P(A) + P(B) = \frac{42}{306} + \frac{110}{306} = \frac{42 + 110}{306} = \frac{152}{306}$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 2: $\frac{152 \div 2}{306 \div 2} = \frac{76}{153}$.

Проверим, можно ли сократить дальше. Знаменатель $153 = 3 \times 51 = 3 \times 3 \times 17$. Числитель $76$ не делится ни на 3, ни на 17. Следовательно, дробь $\frac{76}{153}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{76}{153}$

119 Из ящика, где хранятся 9 жёлтых и 15 зелёных карандашей, продавец не глядя вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, что:

a) 2 первых карандаша окажутся зелёными;

б) все 3 карандаша будут жёлтые;

в) цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый.

В ящике находится $9$ жёлтых и $15$ зелёных карандашей, что составляет $9 + 15 = 24$ карандаша. Карандаши вынимают один за другим, поэтому порядок важен, и количество карандашей в ящике уменьшается с каждым шагом. Мы будем использовать формулу условной вероятности.

а) 2 первых карандаша окажутся зелёными;

Для этого события необходимо, чтобы первый карандаш был зелёным, и второй карандаш тоже был зелёным.

Вероятность того, что первый вытянутый карандаш будет зелёным, равна отношению количества зелёных карандашей к общему количеству карандашей:
$P_1 = \frac{15}{24}$.

После того как из ящика вынули один зелёный карандаш, в нём осталось $23$ карандаша, из которых $14$ зелёных. Вероятность того, что второй карандаш также будет зелёным, при условии, что первый был зелёным:
$P_2 = \frac{14}{23}$.

Вероятность того, что оба события произойдут последовательно, равна произведению их вероятностей:
$P(A) = P_1 \times P_2 = \frac{15}{24} \times \frac{14}{23}$.

Упростим полученное выражение:
$\frac{15}{24} \times \frac{14}{23} = \frac{5}{8} \times \frac{14}{23} = \frac{5 \times 14}{8 \times 23} = \frac{70}{184} = \frac{35}{92}$.

Ответ: $\frac{35}{92}$.

б) все 3 карандаша будут жёлтые;

Для этого события необходимо, чтобы первый, второй и третий карандаши были жёлтыми.

Вероятность вынуть первым жёлтый карандаш:
$P_1 = \frac{9}{24}$.

После этого в ящике останется $23$ карандаша, из которых $8$ жёлтых. Вероятность вынуть вторым жёлтый карандаш:
$P_2 = \frac{8}{23}$.

Затем в ящике останется $22$ карандаша, из которых $7$ жёлтых. Вероятность вынуть третьим жёлтый карандаш:
$P_3 = \frac{7}{22}$.

Итоговая вероятность равна произведению вероятностей этих трёх событий:
$P(B) = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22}$.

Упростим выражение:
$\frac{9}{24} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{3}{8} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{3 \times 1}{1 \times 23} \times \frac{7}{22} = \frac{21}{506}$.

Ответ: $\frac{21}{506}$.

в) цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый.

Для этого события необходимо, чтобы первый карандаш был жёлтым, второй — зелёным, а третий — снова жёлтым.

Вероятность вынуть первым жёлтый карандаш:
$P_1 = \frac{9}{24}$.

После этого в ящике останется $23$ карандаша, из которых $15$ зелёных. Вероятность вынуть вторым зелёный карандаш:
$P_2 = \frac{15}{23}$.

Теперь в ящике осталось $22$ карандаша, из которых $8$ жёлтых (так как один жёлтый уже вынут). Вероятность вынуть третьим жёлтый карандаш:
$P_3 = \frac{8}{22}$.

Итоговая вероятность равна произведению этих вероятностей:
$P(C) = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{9}{24} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22}$.

Упростим выражение:
$\frac{9}{24} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22} = \frac{9 \times 15 \times 8}{24 \times 23 \times 22} = \frac{9 \times 15}{3 \times 23 \times 22} = \frac{3 \times 15}{23 \times 22} = \frac{45}{506}$.

Ответ: $\frac{45}{506}$.

120 На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что очередная произведённая тарелка попадёт в продажу.

Для нахождения искомой вероятности необходимо определить, какие из произведенных тарелок поступят в продажу. Тарелка поступает в продажу, если она либо качественная, либо имеет дефект, который не был обнаружен при контроле.

Рассмотрим эти два несовместных события и найдем их вероятности.

Событие 1: тарелка качественная и поступила в продажу.
По условию, 10% произведённых тарелок имеют дефект. Следовательно, доля тарелок без дефекта (качественных) составляет $100\% - 10\% = 90\%$. Вероятность того, что случайно взятая тарелка будет качественной, равна $0.9$.
Поскольку контроль качества выявляет только дефектные тарелки, все качественные тарелки поступают в продажу. Таким образом, вероятность того, что тарелка качественная и попадёт в продажу, равна $0.9$.

Событие 2: тарелка дефектная и поступила в продажу.
Вероятность того, что тарелка произведена с дефектом, по условию равна $10\%$, или $0.1$.
При контроле качества выявляется 80% дефектных тарелок, и они отбраковываются. Это означает, что оставшиеся $100\% - 80\% = 20\%$ дефектных тарелок не выявляются и поступают в продажу. Вероятность того, что тарелка является дефектной и при этом попадёт в продажу, равна произведению вероятности производства дефектной тарелки на вероятность прохождения ею контроля:
$0.1 \times 0.2 = 0.02$.

Итоговая вероятность того, что случайно выбранная тарелка попадёт в продажу, является суммой вероятностей этих двух несовместных событий.

$P(\text{попадет в продажу}) = P(\text{качественная и в продаже}) + P(\text{дефектная и в продаже})$

$P(\text{попадет в продажу}) = 0.9 + 0.02 = 0.92$

Ответ: 0,92

121 На заводе производят электрические лампочки, причём 5% всех изготовленных лампочек неисправны. Система контроля качества выявляет все неисправные лампочки, но по ошибке бракует ещё 1% исправных лампочек. Все забракованные лампочки поступают в переработку, а остальные — в продажу. Найдите вероятность того, что очередная изготовленная лампочка отправится в переработку.

Для решения задачи определим, в каких случаях лампочка отправляется в переработку. Это происходит, если лампочка неисправна или если она исправна, но ошибочно забракована системой контроля. Эти два случая являются несовместными событиями, поэтому для нахождения итоговой вероятности мы можем сложить их вероятности.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Лампочка неисправна.
Вероятность того, что случайно выбранная лампочка окажется неисправной, по условию составляет 5%, или $0.05$.
Система контроля качества выявляет все неисправные лампочки, то есть с вероятностью 1. Следовательно, все неисправные лампочки отправляются в переработку.
Вероятность того, что лампочка неисправна и будет отправлена в переработку, равна произведению этих вероятностей: $0.05 \cdot 1 = 0.05$.

2. Лампочка исправна, но ошибочно забракована.
Вероятность того, что лампочка исправна, составляет $100\% - 5\% = 95\%$, или $0.95$.
По условию, система контроля по ошибке бракует 1% исправных лампочек, то есть с вероятностью $0.01$.
Вероятность того, что лампочка исправна и будет ошибочно отправлена в переработку, равна: $0.95 \cdot 0.01 = 0.0095$.

Итоговая вероятность того, что очередная изготовленная лампочка отправится в переработку, является суммой вероятностей этих двух несовместных событий:
$P(\text{переработка}) = P(\text{неисправна и забракована}) + P(\text{исправна и забракована})$
$P(\text{переработка}) = 0.05 + 0.0095 = 0.0595$

Ответ: 0,0595

122 Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна $0.05$. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Эта система бракует $99\%$ неисправных батареек и по ошибке бракует $3\%$ исправных батареек. Найдите вероятность того, что очередная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Рассмотрим два возможных состояния батарейки: она может быть исправной или неисправной.

Введем следующие события:
Событие $A$: батарейка неисправна.
Событие $\bar{A}$: батарейка исправна.
Событие $B$: батарейка забракована системой контроля.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:
Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, составляет $P(A) = 0.05$.
Следовательно, вероятность того, что батарейка исправна, равна $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.05 = 0.95$.

Также из условия известны условные вероятности для работы системы контроля:
Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку: $P(B|A) = 99\% = 0.99$.
Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку: $P(B|\bar{A}) = 3\% = 0.03$.

Батарейка будет забракована в одном из двух несовместных случаев:
1. Батарейка неисправна, и система контроля ее забраковала.
2. Батарейка исправна, и система контроля ее забраковала по ошибке.

Чтобы найти общую вероятность того, что батарейка будет забракована ($P(B)$), нужно сложить вероятности этих двух случаев. Это можно сделать по формуле полной вероятности:
$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\bar{A}) \cdot P(B|\bar{A})$

Подставим известные значения в формулу:
$P(B) = 0.05 \cdot 0.99 + 0.95 \cdot 0.03$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
Вероятность забраковать неисправную батарейку: $0.05 \cdot 0.99 = 0.0495$.
Вероятность забраковать исправную батарейку: $0.95 \cdot 0.03 = 0.0285$.

Теперь сложим полученные вероятности:
$P(B) = 0.0495 + 0.0285 = 0.078$.

Таким образом, вероятность того, что очередная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля, равна 0,078.

Ответ: 0,078