Номер 117, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

117 Сергей Петрович гуляет по своему посёлку. Схема дорожек показана на рисунке 48. Он начинает прогулку в точке S и на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается). Найдите вероятность того, что Сергей Петрович в конце концов придёт:

а) на школьный двор;

б) к ферме;

в) на луг;

г) к ферме или к колодцу.

Рисунок 48

Для решения задачи представим схему дорожек в виде графа, где развилки являются вершинами, а дорожки — рёбрами. Сергей Петрович начинает движение из точки S. Условие "на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается)" будем интерпретировать как движение по направленному графу, где на каждой развилке вероятность выбора любого из последующих путей одинакова.

Обозначим ключевые развилки на схеме:

• $Р_1$ — первая развилка после старта S, от которой отходят 3 дорожки.
• $Р_{верх}$ — развилка на верхнем пути, ведущая к Клубу и к Лугу.
• $Р_{центр}$ — центральная развилка.
• $Р_{низ}$ — развилка на нижнем пути, ведущая к Магазину, Колодцу и к Ферме.
• $Р_{луг}$ — развилка, от которой все пути ведут на Луг.
• $Р_{школа}$ — развилка, от которой все пути ведут на Школьный двор.
• $Р_{ферма}$ — развилка, от которой все пути ведут к Ферме.

Вероятность попасть из S в $Р_1$ равна 1. На развилке $Р_1$ есть три пути (к $Р_{верх}$, $Р_{центр}$ и $Р_{низ}$), поэтому вероятность выбора каждого из них равна $1/3$.

Чтобы прийти на школьный двор, Сергей Петрович должен пройти через развилку $Р_{школа}$. Единственный путь к $Р_{школа}$ лежит через $Р_{центр}$.

Путь выглядит так: S → $Р_1$ → $Р_{центр}$ → $Р_{школа}$ → Школьный двор.

1. Вероятность выбрать путь от $Р_1$ к $Р_{центр}$ составляет $1/3$.
2. На развилке $Р_{центр}$ есть три дорожки (к $Р_{луг}$, $Р_{школа}$ и $Р_{ферма}$). Вероятность выбрать путь к $Р_{школа}$ составляет $1/3$.
3. От развилки $Р_{школа}$ все дорожки ведут на школьный двор, поэтому вероятность прийти туда равна 1.

Полная вероятность прийти на школьный двор равна произведению вероятностей на каждом этапе:

$P(\text{школьный двор}) = P(Р_1 \to Р_{центр}) \times P(Р_{центр} \to Р_{школа}) \times P(Р_{школа} \to \text{двор}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{9}$.

Ответ: $1/9$

Чтобы прийти к ферме, нужно пройти через развилку $Р_{ферма}$. К ней можно попасть двумя путями: через $Р_{центр}$ или через $Р_{низ}$.

Путь 1: S → $Р_1$ → $Р_{центр}$ → $Р_{ферма}$ → Ферма.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{центр}$ равна $1/3$.
• Вероятность пути $Р_{центр} \to Р_{ферма}$ равна $1/3$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{ферма}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Путь 2: S → $Р_1$ → $Р_{низ}$ → $Р_{ферма}$ → Ферма.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{низ}$ равна $1/3$.
• На развилке $Р_{низ}$ три дорожки (к Магазину, Колодцу и $Р_{ферма}$). Вероятность пути $Р_{низ} \to Р_{ферма}$ равна $1/3$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{ферма}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Так как эти два пути взаимоисключающие, общая вероятность достичь развилки $Р_{ферма}$ равна сумме их вероятностей: $P(\text{дойти до } Р_{ферма}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$.

От развилки $Р_{ферма}$ все пути ведут к ферме. Следовательно, итоговая вероятность равна:

$P(\text{ферма}) = \frac{2}{9} \times 1 = \frac{2}{9}$.

Ответ: $2/9$

Чтобы прийти на луг, нужно пройти через развилку $Р_{луг}$. К ней можно попасть двумя путями: через $Р_{верх}$ или через $Р_{центр}$.

Путь 1: S → $Р_1$ → $Р_{верх}$ → $Р_{луг}$ → Луг.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{верх}$ равна $1/3$.
• На развилке $Р_{верх}$ две дорожки (к Клубу и $Р_{луг}$). Вероятность пути $Р_{верх} \to Р_{луг}$ равна $1/2$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{луг}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Путь 2: S → $Р_1$ → $Р_{центр}$ → $Р_{луг}$ → Луг.

• Вероятность пути $Р_1 \to Р_{центр}$ равна $1/3$.
• На развилке $Р_{центр}$ три дорожки. Вероятность пути $Р_{центр} \to Р_{луг}$ равна $1/3$.
• Вероятность этого маршрута до $Р_{луг}$ составляет $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Общая вероятность достичь развилки $Р_{луг}$ равна сумме вероятностей этих путей: $P(\text{дойти до } Р_{луг}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}$.

От развилки $Р_{луг}$ все пути ведут на луг. Следовательно, итоговая вероятность равна:

$P(\text{луг}) = \frac{5}{18} \times 1 = \frac{5}{18}$.

Ответ: $5/18$

Это сумма вероятностей двух несовместных событий: прийти к ферме и прийти к колодцу. $P(\text{ферма или колодец}) = P(\text{ферма}) + P(\text{колодец})$.

Вероятность прийти к ферме мы уже нашли: $P(\text{ферма}) = \frac{2}{9}$.

Теперь найдём вероятность прийти к колодцу. Путь к колодцу один: S → $Р_1$ → $Р_{низ}$ → Колодец.

1. Вероятность выбрать путь от $Р_1$ к $Р_{низ}$ составляет $1/3$.
2. На развилке $Р_{низ}$ три дорожки (к Магазину, Колодцу и $Р_{ферма}$). Вероятность выбрать путь к Колодцу равна $1/3$.

Вероятность прийти к колодцу: $P(\text{колодец}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

Суммарная вероятность:

$P(\text{ферма или колодец}) = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$