Номер 123, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

123 В торговом центре рядом друг с другом установлены два автомата, продающие кофе в стаканчиках. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в первом автомате, равна 0,2. Если это случилось, то нагрузка на второй автомат растёт, и кофе может закончиться в нём с вероятностью 0,8. Найдите вероятность того, что:

a) к концу дня в обоих автоматах закончится кофе;

б) к концу дня кофе закончится только в первом автомате.

Указание. Найдите сначала условную вероятность того, что кофе во втором автомате не закончится.

Для решения задачи введем обозначения событий:
$A$ – событие, состоящее в том, что к концу дня кофе закончится в первом автомате.
$B$ – событие, состоящее в том, что к концу дня кофе закончится во втором автомате.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:
Вероятность события $A$: $P(A) = 0,2$.
Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, при условии, что он закончился в первом (условная вероятность события $B$ при условии $A$): $P(B|A) = 0,8$.

Нам необходимо найти вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, то есть вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$. Это вероятность их пересечения $P(A \cap B)$.
По формуле умножения вероятностей для зависимых событий:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$.
Подставляем известные значения:
$P(A \cap B) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$.

Ответ: 0,16

Это событие означает, что кофе закончился в первом автомате (событие $A$) и одновременно не закончился во втором автомате. Обозначим событие "кофе не закончится во втором автомате" как $\bar{B}$. Нам нужно найти вероятность $P(A \cap \bar{B})$.
Сначала, согласно указанию, найдем условную вероятность того, что кофе во втором автомате не закончится, при условии, что в первом он закончился. Это вероятность $P(\bar{B}|A)$.
События "кофе закончится во втором автомате" ($B$) и "кофе не закончится во втором автомате" ($\bar{B}$) являются противоположными. Сумма их вероятностей при условии, что событие $A$ уже произошло, равна 1:
$P(B|A) + P(\bar{B}|A) = 1$.
Отсюда можем выразить и вычислить $P(\bar{B}|A)$:
$P(\bar{B}|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,8 = 0,2$.
Теперь, используя формулу умножения вероятностей, найдем искомую вероятность:
$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}|A)$.
Подставляем значения:
$P(A \cap \bar{B}) = 0,2 \times 0,2 = 0,04$.

Ответ: 0,04