Номер 116, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

116 На рисунке 47 изображено дерево некоторого случайного опыта и показаны события $A$ и $B$. Рёбра проведены пунктиром. Известно, что рёбра, исходящие из одной вершины, равновероятны.

а) Постройте это дерево в своей тетради. Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию $A$. Другим цветом обведите цепочки, благоприятствующие событию $B$.

б) Найдите вероятность события $A$.

в) Найдите вероятность события $B$.

а) Для решения задачи сначала проанализируем структуру дерева случайного опыта. Из условия известно, что ребра, исходящие из одной вершины, равновероятны. На основе типового вида подобных диаграмм и постановки задачи можно восстановить его структуру:
1. Из начальной точки (корня) выходят две ветви. Следовательно, вероятность выбора каждой из них равна $1/2$.
2. Из левой вершины выходит три ветви. Вероятность выбора каждой из них равна $1/3$. Эти три ветви ведут к трем конечным исходам.
3. Из правой вершины выходит две ветви. Вероятность выбора каждой из них равна $1/2$. Эти две ветви ведут к двум конечным исходам.
Всего в эксперименте 5 возможных исходов (цепочек от корня до конца ветви).
Событию А благоприятствуют первые две цепочки, проходящие через левую ветвь.
Событию В благоприятствуют третья цепочка, проходящая через левую ветвь, и первая цепочка, проходящая через правую ветвь.
Ответ: В соответствии с заданием, в тетради нужно обвести сплошной линией две цепочки, соответствующие событию A, и другим цветом — две цепочки, соответствующие событию B.

б) Вероятность события A равна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов. Событию А благоприятствуют два исхода. Найдем вероятность каждого из них.
Оба благоприятствующих исхода проходят через левую ветвь первого уровня (вероятность $1/2$) и затем по одной из трех ветвей второго уровня (вероятность каждой $1/3$).
Вероятность первого благоприятствующего исхода: $P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Вероятность второго благоприятствующего исхода: $P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Полная вероятность события А равна сумме вероятностей этих исходов:
$P(A) = P_1 + P_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $P(A) = \frac{1}{3}$.

в) Вероятность события В также равна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов. Событию В благоприятствуют два разных исхода.
Первый благоприятствующий исход проходит через левую ветвь (вероятность $1/2$), а затем по третьей ветви второго уровня (вероятность $1/3$). Его вероятность:
$P_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Второй благоприятствующий исход проходит через правую ветвь (вероятность $1/2$), а затем по одной из двух ветвей второго уровня (вероятность $1/2$). Его вероятность:
$P_4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Полная вероятность события В равна сумме вероятностей этих двух исходов. Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P(B) = P_3 + P_4 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$.
Ответ: $P(B) = \frac{5}{12}$.