Номер 119, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

119 Из ящика, где хранятся 9 жёлтых и 15 зелёных карандашей, продавец не глядя вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, что:

a) 2 первых карандаша окажутся зелёными;

б) все 3 карандаша будут жёлтые;

в) цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый.

В ящике находится $9$ жёлтых и $15$ зелёных карандашей, что составляет $9 + 15 = 24$ карандаша. Карандаши вынимают один за другим, поэтому порядок важен, и количество карандашей в ящике уменьшается с каждым шагом. Мы будем использовать формулу условной вероятности.

а) 2 первых карандаша окажутся зелёными;

Для этого события необходимо, чтобы первый карандаш был зелёным, и второй карандаш тоже был зелёным.

Вероятность того, что первый вытянутый карандаш будет зелёным, равна отношению количества зелёных карандашей к общему количеству карандашей:
$P_1 = \frac{15}{24}$.

После того как из ящика вынули один зелёный карандаш, в нём осталось $23$ карандаша, из которых $14$ зелёных. Вероятность того, что второй карандаш также будет зелёным, при условии, что первый был зелёным:
$P_2 = \frac{14}{23}$.

Вероятность того, что оба события произойдут последовательно, равна произведению их вероятностей:
$P(A) = P_1 \times P_2 = \frac{15}{24} \times \frac{14}{23}$.

Упростим полученное выражение:
$\frac{15}{24} \times \frac{14}{23} = \frac{5}{8} \times \frac{14}{23} = \frac{5 \times 14}{8 \times 23} = \frac{70}{184} = \frac{35}{92}$.

Ответ: $\frac{35}{92}$.

б) все 3 карандаша будут жёлтые;

Для этого события необходимо, чтобы первый, второй и третий карандаши были жёлтыми.

Вероятность вынуть первым жёлтый карандаш:
$P_1 = \frac{9}{24}$.

После этого в ящике останется $23$ карандаша, из которых $8$ жёлтых. Вероятность вынуть вторым жёлтый карандаш:
$P_2 = \frac{8}{23}$.

Затем в ящике останется $22$ карандаша, из которых $7$ жёлтых. Вероятность вынуть третьим жёлтый карандаш:
$P_3 = \frac{7}{22}$.

Итоговая вероятность равна произведению вероятностей этих трёх событий:
$P(B) = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22}$.

Упростим выражение:
$\frac{9}{24} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{3}{8} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{3 \times 1}{1 \times 23} \times \frac{7}{22} = \frac{21}{506}$.

Ответ: $\frac{21}{506}$.

в) цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый.

Для этого события необходимо, чтобы первый карандаш был жёлтым, второй — зелёным, а третий — снова жёлтым.

Вероятность вынуть первым жёлтый карандаш:
$P_1 = \frac{9}{24}$.

После этого в ящике останется $23$ карандаша, из которых $15$ зелёных. Вероятность вынуть вторым зелёный карандаш:
$P_2 = \frac{15}{23}$.

Теперь в ящике осталось $22$ карандаша, из которых $8$ жёлтых (так как один жёлтый уже вынут). Вероятность вынуть третьим жёлтый карандаш:
$P_3 = \frac{8}{22}$.

Итоговая вероятность равна произведению этих вероятностей:
$P(C) = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{9}{24} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22}$.

Упростим выражение:
$\frac{9}{24} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22} = \frac{9 \times 15 \times 8}{24 \times 23 \times 22} = \frac{9 \times 15}{3 \times 23 \times 22} = \frac{3 \times 15}{23 \times 22} = \frac{45}{506}$.

Ответ: $\frac{45}{506}$.