Номер 126, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

126 На двух заводах изготавливают одинаковые лампочки для автомобильных фар. 30% всех лампочек делают на первом заводе, остальные — на втором. В среднем 10% продукции первого завода и 20% продукции второго завода поступают в торговую сеть «Автоимидж». Найдите вероятность того, что лампочка, купленная в магазине сети «Автоимидж», произведена на первом заводе.

Для решения этой задачи по теории вероятностей введем следующие обозначения для событий:

$A_1$ – событие, состоящее в том, что лампочка изготовлена на первом заводе.

$A_2$ – событие, состоящее в том, что лампочка изготовлена на втором заводе.

$B$ – событие, состоящее в том, что лампочка куплена в магазине сети «Автоимидж».

Исходя из условия задачи, мы можем определить следующие вероятности:

Вероятность того, что лампочка произведена на первом заводе: $P(A_1) = 0.30$.

Поскольку все лампочки производятся только на этих двух заводах, вероятность того, что лампочка произведена на втором заводе, составляет: $P(A_2) = 1 - P(A_1) = 1 - 0.30 = 0.70$.

Вероятность того, что лампочка поступит в продажу в «Автоимидж», если она произведена на первом заводе (условная вероятность): $P(B|A_1) = 0.10$.

Вероятность того, что лампочка поступит в продажу в «Автоимидж», если она произведена на втором заводе (условная вероятность): $P(B|A_2) = 0.20$.

Нам необходимо найти вероятность того, что лампочка, купленная в «Автоимидж», была произведена на первом заводе, то есть $P(A_1|B)$.

Сначала найдем полную вероятность события $B$ (того, что лампочка куплена в «Автоимидж»). Лампочка может попасть в магазин либо с первого, либо со второго завода. По формуле полной вероятности:

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2)$

Подставим известные значения:

$P(B) = 0.30 \cdot 0.10 + 0.70 \cdot 0.20 = 0.03 + 0.14 = 0.17$

Теперь мы можем найти искомую условную вероятность $P(A_1|B)$ по формуле Байеса:

$P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)}$

Подставляем значения:

$P(A_1|B) = \frac{0.30 \cdot 0.10}{0.17} = \frac{0.03}{0.17} = \frac{3}{17}$

Ответ: $\frac{3}{17}$