Номер 131, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

131 Монету бросают 2 раза. Являются ли независимыми события:

a) А «в первый раз выпадает орёл» и В «во второй раз выпадает решка»;

б) А «при первом броске выпадает орёл» и В «орёл выпадает хотя бы один раз»?

Для определения независимости двух событий A и B необходимо проверить выполнение равенства: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, где $P(A)$ – вероятность события A, $P(B)$ – вероятность события B, а $P(A \cap B)$ – вероятность их одновременного наступления.

При двукратном броске монеты существует 4 равновероятных элементарных исхода: Орёл-Орёл (ОО), Орёл-Решка (ОР), Решка-Орёл (РО), Решка-Решка (РР).

а) A «в первый раз выпадет орёл» и B «во второй раз выпадет решка»

1. Найдём вероятность события A. Событию A благоприятствуют два исхода: {ОО, ОР}. Таким образом, $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2. Найдём вероятность события B. Событию B благоприятствуют два исхода: {ОР, РР}. Таким образом, $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Найдём вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $A \cap B$ (в первый раз орёл и во второй решка). Этому событию благоприятствует только один исход: {ОР}. Таким образом, $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.

4. Проверим условие независимости: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Так как $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ( $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ), события A и B являются независимыми.

Ответ: события являются независимыми.

б) A «при первом броске выпадет орёл» и B «орёл выпадет хотя бы один раз»

1. Вероятность события A (при первом броске орёл) нам уже известна из предыдущего пункта. Исходы: {ОО, ОР}. $P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2. Найдём вероятность события B (орёл выпадет хотя бы один раз). Этому событию благоприятствуют три исхода: {ОО, ОР, РО}. Таким образом, $P(B) = \frac{3}{4}$.

3. Найдём вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $A \cap B$ (при первом броске орёл И орёл выпал хотя бы раз). Если при первом броске выпал орёл (событие А), то орёл уже выпал хотя бы один раз. Это означает, что наступление события А автоматически влечет за собой наступление события B. Следовательно, событие $A \cap B$ совпадает с событием A. Ему благоприятствуют исходы {ОО, ОР}, и его вероятность $P(A \cap B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

4. Проверим условие независимости: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$.

Так как $P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B)$ ( $\frac{1}{2} \ne \frac{3}{8}$ ), события A и B не являются независимыми.

Ответ: события не являются независимыми.