Номер 132, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

132 Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события:

a) A «при первом броске выпадает шестёрка» и B «при втором броске выпадает меньше трёх очков»;

б) A «при первом броске выпадает больше трёх очков» и B «сумма выпавших очков меньше девяти»?

Два события A и B называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

При двух бросках игральной кости существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов.

а) A «при первом броске выпадет шестёрка» и B «при втором броске выпадет меньше трёх очков»
1. Найдем вероятность события A. Событию A (при первом броске выпадет шестёрка) благоприятствуют 6 исходов: (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6). Вероятность события A: $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
2. Найдем вероятность события B. Событию B (при втором броске выпадет меньше трёх очков, то есть 1 или 2) благоприятствуют $6 \times 2 = 12$ исходов: (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1) и (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2). Вероятность события B: $P(B) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
3. Найдем вероятность совместного наступления событий A и B ($A \cap B$). Событие $A \cap B$ означает, что при первом броске выпала шестёрка, а при втором — 1 или 2. Этому соответствуют 2 исхода: (6, 1) и (6, 2). Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
4. Проверим условие независимости. $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}$. Так как $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ($ \frac{1}{18} = \frac{1}{18} $), события A и B являются независимыми.
Ответ: да, события являются независимыми.

б) A «при первом броске выпадет больше трёх очков» и B «сумма выпавших очков меньше девяти»
1. Найдем вероятность события A. Событию A (при первом броске выпадет больше трёх очков, то есть 4, 5 или 6) благоприятствуют $3 \times 6 = 18$ исходов. Вероятность события A: $P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
2. Найдем вероятность события B. Событию B (сумма выпавших очков меньше девяти) благоприятствуют исходы, сумма которых равна 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8. Проще посчитать количество неблагоприятных исходов (сумма $\ge 9$):

• Сумма 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) — 4 исхода.
• Сумма 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) — 3 исхода.
• Сумма 11: (5, 6), (6, 5) — 2 исхода.
• Сумма 12: (6, 6) — 1 исход.

Всего неблагоприятных исходов: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$. Количество благоприятных исходов для события B: $36 - 10 = 26$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$.
3. Найдем вероятность совместного наступления событий A и B ($A \cap B$). Событие $A \cap B$ означает, что при первом броске выпало больше трёх (4, 5 или 6), и сумма очков меньше девяти.

• Если первый бросок 4, то второй должен быть меньше 5 (1, 2, 3, 4) — 4 исхода.
• Если первый бросок 5, то второй должен быть меньше 4 (1, 2, 3) — 3 исхода.
• Если первый бросок 6, то второй должен быть меньше 3 (1, 2) — 2 исхода.

Всего благоприятных исходов для $A \cap B$: $4 + 3 + 2 = 9$. Вероятность события $A \cap B$: $P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.
4. Проверим условие независимости. $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{13}{18} = \frac{13}{36}$. Сравним $P(A \cap B)$ и $P(A) \cdot P(B)$: $\frac{1}{4} = \frac{9}{36}$. Так как $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ ($ \frac{9}{36} \neq \frac{13}{36} $), события A и B не являются независимыми (являются зависимыми).
Ответ: нет, события не являются независимыми.