Номер 2, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 События $A$ и $\overline{A}$ имеют положительные вероятности. Могут ли события $A$ и $\overline{A}$ быть независимыми?

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Применим это определение к событиям $A$ и $\bar{A}$. Для того чтобы они были независимыми, должно выполняться равенство: $P(A \cap \bar{A}) = P(A) \cdot P(\bar{A})$.

Рассмотрим левую часть равенства. Событие $\bar{A}$ является дополнением к событию $A$, то есть означает, что событие $A$ не произошло. События $A$ и $\bar{A}$ не могут произойти одновременно, они являются несовместными. Их пересечение $A \cap \bar{A}$ является невозможным событием (пустым множеством, $\emptyset$). Вероятность невозможного события всегда равна нулю: $P(A \cap \bar{A}) = P(\emptyset) = 0$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства. По условию задачи, вероятности событий $A$ и $\bar{A}$ положительны: $P(A) > 0$ и $P(\bar{A}) > 0$. Следовательно, их произведение также будет строго больше нуля: $P(A) \cdot P(\bar{A}) > 0$.

Подставим полученные значения в уравнение независимости: $0 = P(A) \cdot P(\bar{A})$.

Однако мы выяснили, что правая часть этого равенства строго больше нуля. Таким образом, мы приходим к противоречию: $0 > 0$, что является ложным утверждением. Это противоречие означает, что исходное предположение о независимости событий $A$ и $\bar{A}$ (при условии их положительных вероятностей) неверно.

Ответ: Нет, события $A$ и $\bar{A}$ не могут быть независимыми, если их вероятности положительны.