Номер 138, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

138 События $A$ и $B$ независимы. Докажите, что независимы события $A$ и $\overline{B}$.

По определению, события A и B являются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Нам нужно доказать, что события A и $\bar{B}$ (событие, противоположное событию B) также являются независимыми. Для этого необходимо показать, что выполняется равенство:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B})$

Рассмотрим событие A. Его можно представить как объединение двух несовместных (взаимоисключающих) событий: "произошло и A, и B" (событие $A \cap B$) и "произошло A, но не произошло B" (событие $A \cap \bar{B}$).

Таким образом, $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$.

Поскольку события $(A \cap B)$ и $(A \cap \bar{B})$ несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(A) = P((A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$

Из этого уравнения выразим вероятность $P(A \cap \bar{B})$:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$

По условию задачи, события A и B независимы, следовательно, мы можем подставить $P(A) \cdot P(B)$ вместо $P(A \cap B)$:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A) \cdot P(B)$

Вынесем общий множитель $P(A)$ за скобки:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot (1 - P(B))$

Вероятность противоположного события $\bar{B}$ вычисляется по формуле $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$. Подставим это выражение в наше равенство:

$P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B})$

Это равенство является определением независимости событий A и $\bar{B}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.