Номер 3, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

3 Являются ли элементарные события в случайном опыте независимыми событиями?

Нет, в общем случае элементарные события в случайном опыте не являются независимыми. Наоборот, любые два различных элементарных события являются взаимоисключающими (несовместными), что представляет собой сильную форму зависимости.

Чтобы понять почему, давайте обратимся к определениям и математическому аппарату теории вероятностей.

Определения

Элементарное событие (исход) — это один из неделимых, базовых результатов случайного опыта. Множество всех элементарных событий образует пространство элементарных событий $\Omega$. Например, при броске монеты элементарными событиями являются "орёл" и "решка".

Независимые события — события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Математически это означает, что вероятность их одновременного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Несовместные (взаимоисключающие) события — события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. Это значит, что их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$), и, следовательно, вероятность их совместного наступления равна нулю: $P(A \cap B) = 0$.

Анализ

Рассмотрим два различных элементарных события в одном и том же опыте, назовем их $\omega_1$ и $\omega_2$. По своему определению, если в результате опыта наступило событие $\omega_1$, то событие $\omega_2$ наступить уже не может. Это означает, что элементарные события являются несовместными.

Поскольку они несовместны, вероятность их одновременного наступления равна нулю:

$P(\{\omega_1\} \cap \{\omega_2\}) = 0$

Теперь применим критерий независимости. Если бы события $\omega_1$ и $\omega_2$ были независимыми, должно было бы выполняться равенство:

$P(\{\omega_1\} \cap \{\omega_2\}) = P(\{\omega_1\}) \cdot P(\{\omega_2\})$

Подставив в левую часть $0$, получим:

$0 = P(\{\omega_1\}) \cdot P(\{\omega_2\})$

Данное равенство справедливо только в том случае, если вероятность хотя бы одного из событий равна нулю (то есть $P(\{\omega_1\}) = 0$ или $P(\{\omega_2\}) = 0$). Однако в большинстве практических задач рассматриваются элементарные события, которые могут произойти, а значит, их вероятности строго положительны ($P(\{\omega_1\}) > 0$ и $P(\{\omega_2\}) > 0$).

Если вероятности обоих событий больше нуля, то их произведение также будет больше нуля: $P(\{\omega_1\}) \cdot P(\{\omega_2\}) > 0$.

Мы приходим к противоречию: $0 > 0$. Это доказывает, что два различных элементарных события с ненулевой вероятностью не могут быть независимыми.

Пример: Бросок игральной кости

Пусть случайный опыт — это однократный бросок стандартной шестигранной кости. Пространство элементарных событий: $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Рассмотрим два элементарных события:
Событие A: "выпало число 2". Его вероятность $P(A) = 1/6$.
Событие B: "выпало число 5". Его вероятность $P(B) = 1/6$.

События A и B несовместны, так как за один бросок не может выпасть одновременно и 2, и 5. Следовательно, вероятность их совместного наступления $P(A \cap B) = 0$.

Проверим условие независимости: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

$0 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

$0 = \frac{1}{36}$

Равенство неверно. Следовательно, события "выпало 2" и "выпало 5" являются зависимыми.

Ответ: Нет, элементарные события в случайном опыте не являются независимыми, если их вероятности отличны от нуля. Они являются несовместными, а несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы, так как наступление одного из них исключает возможность наступления другого, что и является проявлением зависимости.