Номер 133, страница 46, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

133 Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие $C$ — «число чётное». Являются ли события $C$ и $D$ независимыми, если событие $D$ состоит в том, что:

a) выбранное число делится на 3;

б) выбранное число делится на 7?

а) выбранное число делится на 3;
Два события являются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей. Формула независимости событий $C$ и $D$: $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)$.
Общее число возможных исходов — это выбор одного натурального числа от 1 до 24, то есть $n=24$.
Событие $C$ — «выбранное число чётное».
В диапазоне от 1 до 24 находится 12 чётных чисел: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}.
Вероятность события $C$ составляет $P(C) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
Событие $D$ — «выбранное число делится на 3».
В диапазоне от 1 до 24 находится 8 чисел, делящихся на 3: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}.
Вероятность события $D$ составляет $P(D) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
Событие $C \cap D$ означает, что число одновременно чётное и делится на 3, то есть оно делится на 6.
В диапазоне от 1 до 24 находится 4 числа, делящихся на 6: {6, 12, 18, 24}.
Вероятность события $C \cap D$ составляет $P(C \cap D) = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.
Теперь проверим условие независимости:
$P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Поскольку $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D)$ (так как $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$), события $C$ и $D$ являются независимыми.
Ответ: да, являются.

б) выбранное число делится на 7?
Вероятность события $C$ («выбранное число чётное») остается той же: $P(C) = \frac{1}{2}$.
Событие $D$ — «выбранное число делится на 7».
В диапазоне от 1 до 24 находится 3 числа, делящихся на 7: {7, 14, 21}.
Вероятность события $D$ составляет $P(D) = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
Событие $C \cap D$ означает, что число одновременно чётное и делится на 7, то есть оно делится на 14.
В диапазоне от 1 до 24 есть только одно такое число: {14}.
Вероятность события $C \cap D$ составляет $P(C \cap D) = \frac{1}{24}$.
Проверим условие независимости:
$P(C) \cdot P(D) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$.
Поскольку $P(C \cap D) \neq P(C) \cdot P(D)$ (так как $\frac{1}{24} \neq \frac{1}{16}$), события $C$ и $D$ не являются независимыми (они зависимы).
Ответ: нет, не являются.