Номер 136, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

136 Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её. Рассмотрим события $A$ «стрелку потребовалось не более трёх выстрелов» и $B$ «стрелку потребовалось не более пяти выстрелов». Являются ли события $A$ и $B$ независимыми?

Два события A и B называются независимыми, если вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Если это равенство не выполняется, события являются зависимыми. Проверим выполнение этого условия для данных событий.

Пусть $p$ — вероятность попадания в мишень при одном выстреле, а $q = 1 - p$ — вероятность промаха. Для того чтобы задача имела нетривиальное решение, будем считать, что $0 < p < 1$, а значит и $0 < q < 1$.

Сначала найдем вероятности событий A и B.

Событие A — «стрелку потребовалось не более трёх выстрелов». Это значит, что стрелок поразил мишень с первой, второй или третьей попытки. Проще вычислить вероятность противоположного события $\bar{A}$ — «стрелку потребовалось более трёх выстрелов». Это событие произойдет, если стрелок промахнется в первых трёх выстрелах. Вероятность этого $P(\bar{A}) = q \cdot q \cdot q = q^3$.

Тогда вероятность события A равна: $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - q^3$.

Событие B — «стрелку потребовалось не более пяти выстрелов». Аналогично, противоположное событие $\bar{B}$ — «стрелку потребовалось более пяти выстрелов» — означает промах в первых пяти выстрелах. Вероятность этого $P(\bar{B}) = q^5$.

Тогда вероятность события B равна: $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - q^5$.

Теперь найдем вероятность пересечения событий $A \cap B$. Событие $A \cap B$ означает, что произошли оба события: стрелку потребовалось не более трёх выстрелов И не более пяти выстрелов. Если произошло событие A (потребовалось не более трёх выстрелов), то автоматически выполняется и условие события B (потребовалось не более пяти выстрелов). Таким образом, событие A влечет за собой событие B, то есть является его подмножеством ($A \subseteq B$). Следовательно, их пересечение равно A: $A \cap B = A$.

Вероятность пересечения равна вероятности события A: $P(A \cap B) = P(A) = 1 - q^3$.

Проверим условие независимости: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Подставим найденные значения:

$$ 1 - q^3 = (1 - q^3) \cdot (1 - q^5) $$

Так как мы рассматриваем случай $0 < q < 1$, то $1 - q^3 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $1 - q^3$:

$$ 1 = 1 - q^5 $$

Из этого уравнения следует, что $q^5 = 0$, что означает $q = 0$. Если $q=0$, то $p=1$, то есть стрелок всегда попадает с первого раза. Это противоречит нашему допущению, что $0 < p < 1$.

Равенство для независимости событий выполняется только в тривиальных случаях: когда $p=1$ ($q=0$) или когда $p=0$ ($q=1$). В общем случае, когда вероятность попадания находится в интервале $(0, 1)$, равенство не выполняется. Следовательно, события A и B являются зависимыми. Интуитивно это означает, что знание о том, что произошло событие B (потребовалось не более 5 выстрелов), увеличивает вероятность наступления события A (потребовалось не более 3 выстрелов), так как исключаются исходы, где требуется 6 и более выстрелов.

Ответ: Нет, события A и B являются зависимыми (за исключением тривиальных случаев, когда вероятность попадания в мишень равна 0 или 1).