Номер 134, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

134 Бросают одну игральную кость. Событие $A$ — «выпадет чётное число очков».

Являются ли независимыми события $A$ и $B$, если событие $B$ состоит в том, что:

a) выпадет число очков, кратное 3;

б) выпадет число очков, кратное 5?

Два события A и B называются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

При броске одной игральной кости всего 6 равновозможных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Событие A — «выпадет чётное число очков». Этому событию благоприятствуют 3 исхода: {2, 4, 6}.

Вероятность события A: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

а) выпадет число очков, кратное 3;

Событие B — «выпадет число очков, кратное 3». Этому событию благоприятствуют 2 исхода: {3, 6}.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Событие $A \cap B$ означает, что выпадет число, которое является одновременно и чётным, и кратным 3. Этому событию благоприятствует только один исход: {6}.

Вероятность пересечения событий A и B: $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.

Теперь проверим условие независимости. Вычислим произведение вероятностей событий A и B:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Так как $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ( $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ ), события A и B являются независимыми.

Ответ: да, являются.

б) выпадет число очков, кратное 5?

Событие B — «выпадет число очков, кратное 5». Этому событию благоприятствует 1 исход: {5}.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{1}{6}$.

Событие $A \cap B$ означает, что выпадет число, которое является одновременно и чётным, и кратным 5. Среди исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} нет такого числа. Следовательно, событие $A \cap B$ является невозможным.

Вероятность пересечения событий A и B: $P(A \cap B) = \frac{0}{6} = 0$.

Проверим условие независимости. Вычислим произведение вероятностей событий A и B:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

Так как $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ ( $0 \neq \frac{1}{12}$ ), события A и B не являются независимыми (являются зависимыми).

Ответ: нет, не являются.