Номер 125, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

125 В коробке было 2 красных и 3 синих фломастера. Ваня не глядя достал из коробки 2 фломастера, причём оказалось, что среди них есть синий. Какова вероятность, что Ваня достал:

а) 2 синих фломастера;

б) 1 красный и 1 синий?

В коробке находится $2$ красных и $3$ синих фломастера, всего $2+3=5$ фломастеров. Ваня достает 2 фломастера.

Найдем общее число способов достать 2 фломастера из 5. Это число сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Существует 10 равновероятных способов достать 2 фломастера. Теперь рассмотрим возможные комбинации по цветам:

• Достать 2 красных фломастера: число способов $C_2^2 = 1$.

• Достать 2 синих фломастера: число способов $C_3^2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

• Достать 1 красный и 1 синий фломастер: число способов $C_2^1 \cdot C_3^1 = 2 \cdot 3 = 6$.

Проверка: $1 + 3 + 6 = 10$ способов, что соответствует общему числу сочетаний.

По условию задачи, известно, что среди двух вынутых фломастеров есть синий. Это означает, что событие "достали 2 красных фломастера" не произошло. Следовательно, мы рассматриваем условную вероятность. Пространство возможных исходов сужается. Общее число исходов, удовлетворяющих условию (хотя бы один синий), равно общему числу исходов минус число исходов, где оба фломастера красные:

$N_{\text{условие}} = 10 - 1 = 9$

Эти 9 исходов состоят из 3 случаев, когда достали 2 синих, и 6 случаев, когда достали 1 красный и 1 синий.

а) 2 синих фломастера;

Найдем вероятность того, что Ваня достал 2 синих фломастера, при условии, что среди них есть хотя бы один синий. Число благоприятных этому событию исходов (2 синих фломастера) равно 3. Общее число исходов в нашем новом, суженном пространстве, равно 9.

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов, удовлетворяющих условию:

$P(\text{2 синих | есть хотя бы 1 синий}) = \frac{\text{Число способов достать 2 синих}}{\text{Число способов достать хотя бы 1 синий}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) 1 красный и 1 синий?

Найдем вероятность того, что Ваня достал 1 красный и 1 синий фломастер, при условии, что среди них есть хотя бы один синий. Число благоприятных этому событию исходов (1 красный и 1 синий) равно 6. Общее число исходов в суженном пространстве по-прежнему равно 9.

Искомая вероятность равна:

$P(\text{1 красный и 1 синий | есть хотя бы 1 синий}) = \frac{\text{Число способов достать 1 красный и 1 синий}}{\text{Число способов достать хотя бы 1 синий}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.