Номер 118, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

118 В группе 18 человек, из них 7 мальчиков, остальные — девочки. По сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что на концах шеренги окажутся две девочки или два мальчика.

Для решения этой задачи по теории вероятностей сначала определим количество мальчиков и девочек в группе.

Всего в группе: 18 человек.
Количество мальчиков: 7 человек.
Количество девочек: $18 - 7 = 11$ человек.

Событие, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что на концах шеренги окажутся два человека одного пола. Это событие можно разбить на два несовместных (взаимоисключающих) события:

• Событие A: на концах шеренги оказались два мальчика.
• Событие B: на концах шеренги оказались две девочки.

Искомая вероятность будет равна сумме вероятностей этих двух событий: $P = P(A) + P(B)$.

Найдем вероятность события A (на концах два мальчика).

Рассмотрим два места по краям шеренги. Вероятность того, что на первом из этих мест окажется мальчик, равна отношению числа мальчиков к общему числу человек: $P_1 = \frac{7}{18}$.

После того как один мальчик занял одно крайнее место, в группе осталось 17 человек, из которых 6 — мальчики. Теперь вероятность того, что на втором крайнем месте также окажется мальчик, составляет: $P_2 = \frac{6}{17}$.

Вероятность того, что оба этих события произойдут вместе (т.е. на обоих концах окажутся мальчики), равна произведению их вероятностей: $P(A) = P_1 \times P_2 = \frac{7}{18} \times \frac{6}{17} = \frac{42}{306}$.

Найдем вероятность события B (на концах две девочки).

Аналогично, вероятность того, что на первом крайнем месте окажется девочка, равна: $P_3 = \frac{11}{18}$.

После этого в группе останется 17 человек, из которых 10 — девочки. Вероятность того, что на втором крайнем месте тоже окажется девочка: $P_4 = \frac{10}{17}$.

Вероятность того, что на обоих концах окажутся девочки: $P(B) = P_3 \times P_4 = \frac{11}{18} \times \frac{10}{17} = \frac{110}{306}$.

Теперь найдем общую вероятность.

Сложим вероятности несовместных событий A и B: $P = P(A) + P(B) = \frac{42}{306} + \frac{110}{306} = \frac{42 + 110}{306} = \frac{152}{306}$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 2: $\frac{152 \div 2}{306 \div 2} = \frac{76}{153}$.

Проверим, можно ли сократить дальше. Знаменатель $153 = 3 \times 51 = 3 \times 3 \times 17$. Числитель $76$ не делится ни на 3, ни на 17. Следовательно, дробь $\frac{76}{153}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{76}{153}$