Номер 115, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

115 На рисунке 46 изображено дерево некоторого случайного опыта и событие $A$.

Рёбра проведены пунктиром. Известно, что из каждой точки возможные переходы к следующим событиям равновероятны.

а) Перерисуйте дерево в тетрадь и подпишите около рёбер соответствующие вероятности.

б) Обведите сплошной линией цепочки, благоприятствующие событию $A$.

в) Найдите вероятность события $A$.

$S$

$A$

Рисунок 46

а) Согласно условию, из каждой точки (узла дерева) возможные переходы равновероятны. Это означает, что вероятность перехода по любому ребру, выходящему из узла, равна $1/n$, где $n$ — количество рёбер, выходящих из этого узла. Распишем вероятности для каждого ребра:
1. Из начальной точки S выходят 2 ребра. Вероятность перехода по каждому из них равна $\frac{1}{2}$.
2. По левой ветви от S:
- Из первого узла выходят 2 ребра. Вероятность каждого — $\frac{1}{2}$.
- Из узла, находящегося выше, выходят 2 ребра к конечным исходам. Вероятность каждого — $\frac{1}{2}$.
- Из узла, находящегося ниже, выходит 1 ребро к конечному исходу. Его вероятность — $1$.
3. По правой ветви от S:
- Из первого узла выходят 3 ребра к конечным исходам. Вероятность каждого из них равна $\frac{1}{3}$.
Ответ: Вероятности на рёбрах дерева, начиная от точки S: на первом уровне два ребра с вероятностями по $\frac{1}{2}$; на левой ветви на втором уровне два ребра с вероятностями по $\frac{1}{2}$; далее на верхней левой ветви два ребра с вероятностями по $\frac{1}{2}$, а на нижней левой ветви одно ребро с вероятностью $1$; на правой ветви на втором уровне три ребра с вероятностями по $\frac{1}{3}$.

б) Событию А благоприятствуют три исхода. Цепочки (пути от S до этих исходов) следующие:
1. Путь от S налево, затем на развилке вниз-налево, и далее по единственному ребру до исхода в области А.
2. Путь от S налево, затем на развилке вверх-налево, и далее по правому ребру до исхода в области А.
3. Путь от S направо, и далее по левому из трёх рёбер до исхода в области А.
Ответ: Описаны три цепочки, ведущие к исходам, входящим в событие А.

в) Вероятность события А равна сумме вероятностей цепочек (исходов), благоприятствующих этому событию. Вероятность каждой цепочки находится произведением вероятностей рёбер, составляющих эту цепочку.
1. Вероятность первой благоприятствующей цепочки (S → лево → вниз → исход): $P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
2. Вероятность второй благоприятствующей цепочки (S → лево → вверх → право → исход): $P_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
3. Вероятность третьей благоприятствующей цепочки (S → право → лево → исход): $P_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
Суммарная вероятность события А:
$P(A) = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{6}$.
Приводим дроби к общему знаменателю 24:
$P(A) = \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{6 + 3 + 4}{24} = \frac{13}{24}$.
Ответ: $\frac{13}{24}$.