Номер 2, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

2 Чему равна сумма вероятностей около рёбер, выходящих из одной вершины?

Рассмотрим произвольную вершину графа, которую обозначим как $v$. Пусть из этой вершины выходит $k$ рёбер, которые представляют собой все возможные пути для перехода из вершины $v$ в смежные с ней вершины.

В задачах, связанных с вероятностными процессами на графах (например, в модели случайных блужданий), выбор одного из рёбер для перехода из текущей вершины является случайным событием. Поскольку переход из вершины $v$ должен обязательно произойти по одному из этих $k$ рёбер, то совокупность этих событий (переход по ребру 1, переход по ребру 2, ..., переход по ребру $k$) образует полную группу несовместных событий.

Согласно фундаментальной аксиоме теории вероятностей, сумма вероятностей событий, образующих полную группу, всегда равна единице.

Если обозначить вероятности выбора каждого из $k$ рёбер, выходящих из вершины $v$, как $p_1, p_2, \dots, p_k$, то их сумма будет равна 1: $$ \sum_{i=1}^{k} p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_k = 1 $$

Например, для простого случайного блуждания по невзвешенному графу, вероятность перехода по любому из $k$ рёбер, выходящих из вершины $v$, одинакова и составляет $1/k$. Сумма этих вероятностей будет: $$ \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{k} = \underbrace{\frac{1}{k} + \frac{1}{k} + \dots + \frac{1}{k}}_{k \text{ раз}} = k \cdot \frac{1}{k} = 1 $$

Этот же принцип верен и для взвешенных графов, где вероятность перехода по ребру обычно пропорциональна его весу. Сумма вероятностей всех возможных переходов из одной вершины всегда нормируется так, чтобы она была равна единице.

Таким образом, сумма вероятностей всех переходов по рёбрам, выходящим из одной и той же вершины, всегда равна 1.

Ответ: 1.