Номер 109, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

109 Найдите вероятность получить $n$ разных результатов, бросив игральную кость $n$ раз, если:

а) $n = 3$;

б) $n = 4$;

в) $n = 5$;

г) $n = 6$;

д) $n = 7$.

а) n = 3;

Общее число возможных исходов при броске игральной кости $n$ раз равно $6^n$, так как каждый из $n$ бросков имеет 6 независимых вариантов. В данном случае, при $n=3$, общее число исходов равно $6^3 = 216$.Число благоприятных исходов — это количество способов получить 3 разных результата. Для первого броска есть 6 возможных результатов. Для второго броска, чтобы он отличался от первого, остаётся 5 вариантов. Для третьего, чтобы он отличался от первых двух, остаётся 4 варианта. Таким образом, число благоприятных исходов равно $6 \times 5 \times 4 = 120$.Вероятность $P$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P = \frac{6 \times 5 \times 4}{6^3} = \frac{120}{216}$.Сократим дробь: $P = \frac{120 \div 24}{216 \div 24} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$.

б) n = 4;

При $n=4$ общее число исходов равно $6^4 = 1296$.Число благоприятных исходов, при которых все четыре результата различны, вычисляется как $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.Вероятность события:$P = \frac{360}{1296}$.Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 72: $P = \frac{360 \div 72}{1296 \div 72} = \frac{5}{18}$.

Ответ: $\frac{5}{18}$.

в) n = 5;

При $n=5$ общее число исходов равно $6^5 = 7776$.Число благоприятных исходов, при которых все пять результатов различны, равно $6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$.Вероятность события:$P = \frac{720}{7776}$.Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 144: $P = \frac{720 \div 144}{7776 \div 144} = \frac{5}{54}$.

Ответ: $\frac{5}{54}$.

г) n = 6;

При $n=6$ общее число исходов равно $6^6 = 46656$.Число благоприятных исходов, при которых все шесть результатов различны (т.е. выпали все числа от 1 до 6), равно числу перестановок из 6 элементов: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.Вероятность события:$P = \frac{720}{46656}$.Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 144: $P = \frac{720 \div 144}{46656 \div 144} = \frac{5}{324}$.

Ответ: $\frac{5}{324}$.

д) n = 7.

Так как стандартная игральная кость имеет только 6 граней, максимальное число различных результатов, которые могут выпасть, равно 6. Согласно принципу Дирихле, при 7 бросках как минимум два результата обязательно совпадут.Следовательно, событие "получить 7 разных результатов" является невозможным. Число благоприятных исходов для такого события равно 0.Вероятность невозможного события равна 0.$P = \frac{0}{6^7} = 0$.

Ответ: 0.