Номер 4, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

4 В некотором опыте произошло событие $B$. Может ли это увеличить вероятность другого события; уменьшить вероятность другого события? Приведите примеры, когда условная вероятность события больше и когда она меньше исходной вероятности этого события.

Да, наступление события B может как увеличить, так и уменьшить вероятность другого события A. Вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью и обозначается как $P(A|B)$. Изменение вероятности зависит от того, являются ли события зависимыми. Если $P(A|B) > P(A)$, то событие B увеличивает вероятность A. Если $P(A|B) < P(A)$, то событие B уменьшает вероятность A.

Пример, когда условная вероятность события больше исходной

Рассмотрим опыт: из стандартной колоды в 52 карты случайным образом вытягивается одна карта.

Пусть событие A — «вытянутая карта — король».

В колоде 4 короля, поэтому исходная (безусловная) вероятность события A равна:

$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

Пусть событие B — «вытянутая карта — это "картинка" (валет, дама или король)».

В колоде 12 "картинок" (по 3 в каждой из 4 мастей). Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$

Теперь найдем условную вероятность события A при условии, что событие B произошло, то есть $P(A|B)$. Если мы знаем, что вытянутая карта — "картинка", то наше пространство элементарных исходов сужается до 12 карт. Среди этих 12 карт есть 4 короля.

Следовательно, условная вероятность равна:

$P(A|B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Сравним исходную и условную вероятности:

$\frac{1}{3} > \frac{1}{13}$

Таким образом, $P(A|B) > P(A)$. Знание о том, что произошло событие B, увеличило вероятность события A.

Ответ: Да, наступление одного события может увеличить вероятность другого. В приведенном примере знание о том, что карта является "картинкой", увеличивает вероятность того, что эта карта — король, с $1/13$ до $1/3$.

Пример, когда условная вероятность события меньше исходной

Рассмотрим опыт: бросают две игральные кости.

Всего возможных исходов $6 \times 6 = 36$.

Пусть событие A — «сумма выпавших очков равна 10».

Благоприятные исходы для события A: (4, 6), (5, 5), (6, 4). Всего 3 исхода.

Исходная вероятность события A равна:

$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Пусть событие B — «на первой кости выпало число, меньшее 5» (т.е. 1, 2, 3 или 4).

Количество исходов, благоприятствующих событию B, равно $4 \times 6 = 24$.

Теперь найдем условную вероятность $P(A|B)$, то есть вероятность того, что сумма очков равна 10, при условии, что на первой кости выпало число, меньшее 5.

Пространство исходов сузилось до 24, где первая кость — 1, 2, 3 или 4. Из них найдем те, что благоприятствуют событию A (сумма равна 10):

• Если на первой кости 1, на второй должно быть 9 (невозможно).
• Если на первой кости 2, на второй должно быть 8 (невозможно).
• Если на первой кости 3, на второй должно быть 7 (невозможно).
• Если на первой кости 4, на второй должно быть 6 (возможно, исход (4, 6)).

Таким образом, из 24 возможных исходов только один, (4, 6), удовлетворяет условию, что сумма равна 10.

Условная вероятность равна:

$P(A|B) = \frac{1}{24}$

Сравним исходную и условную вероятности:

$\frac{1}{24} < \frac{1}{12}$ (поскольку $\frac{1}{12} = \frac{2}{24}$)

Таким образом, $P(A|B) < P(A)$. Знание о том, что произошло событие B, уменьшило вероятность события A.

Ответ: Да, наступление одного события может уменьшить вероятность другого. В приведенном примере знание о том, что на первой кости выпало меньше 5, уменьшает вероятность того, что сумма очков равна 10, с $1/12$ до $1/24$.