Страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 В каких случаях среднее арифметическое не очень хорошо описывает большинство значений в числовом наборе? Приведите пример таких данных.

Среднее арифметическое не очень хорошо описывает большинство значений в числовом наборе, когда в наборе присутствуют так называемые выбросы или аномальные значения. Это значения, которые значительно больше или значительно меньше основной массы данных. Такие выбросы сильно смещают (или «перетягивают» на себя) среднее арифметическое, в результате чего оно перестает быть типичным представителем набора.

Такая ситуация часто возникает в данных с асимметричным распределением (скошенным распределением). В таких случаях для описания центральной тенденции лучше подходят другие меры, такие как медиана (средний элемент в отсортированном ряду) или мода (наиболее часто встречающееся значение).

Пример таких данных:

Рассмотрим заработную плату пяти сотрудников в небольшой компании (в тысячах рублей): 50, 60, 55, 65, 500.

Здесь зарплаты четырех сотрудников (50, 55, 60, 65) находятся близко друг к другу, а зарплата пятого сотрудника (возможно, директора) в 500 тысяч является явным выбросом.

Найдем среднее арифметическое этих зарплат. Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Подставим наши значения:

$\bar{x} = \frac{50 + 60 + 55 + 65 + 500}{5} = \frac{730}{5} = 146$

Средняя зарплата в компании составляет 146 тысяч рублей. Однако это значение не отражает реального положения дел для большинства сотрудников, так как четверо из пяти получают значительно меньше этой суммы (65 тысяч или меньше). Среднее значение оказалось завышенным из-за одной очень высокой зарплаты.

Для сравнения, найдем медиану. Сначала отсортируем ряд данных: 50, 55, 60, 65, 500. Медиана — это значение, находящееся в середине, то есть 60. Эта величина (60 тысяч рублей) гораздо лучше описывает типичную зарплату в данной компании, чем среднее арифметическое (146 тысяч рублей).

Ответ: Среднее арифметическое плохо описывает набор данных при наличии в нем экстремальных значений (выбросов), которые сильно отличаются от большинства других значений. Пример: набор зарплат [50, 60, 55, 65, 500], где среднее арифметическое равно 146, что не является типичным значением для большинства элементов набора.

2 Дайте определение медианы числового набора.

Медианой числового набора называют число, которое находится в середине этого набора, если его предварительно упорядочить (отсортировать) по возрастанию или убыванию. Медиана делит упорядоченный набор данных на две равные по количеству элементов части. Способ нахождения медианы зависит от того, чётное или нечётное количество элементов в наборе.

Для набора с нечётным количеством элементов

Если количество чисел в наборе нечётно, то медианой является число, которое стоит ровно посередине в упорядоченном ряду.

Пример: Дан набор чисел $\{3, 1, 9, 2, 7\}$.

1. Упорядочим набор по возрастанию: $\{1, 2, 3, 7, 9\}$.

2. В наборе 5 (нечётное число) элементов. Число, стоящее посередине, — это 3.

Таким образом, медиана этого набора равна 3. Для набора из $n$ элементов, где $n$ нечётно, номер центрального элемента равен $(n+1)/2$.

Для набора с чётным количеством элементов

Если количество чисел в наборе чётно, то медианой является среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине в упорядоченном ряду.

Пример: Дан набор чисел $\{6, 2, 8, 4, 1, 10\}$.

1. Упорядочим набор по возрастанию: $\{1, 2, 4, 6, 8, 10\}$.

2. В наборе 6 (чётное число) элементов. В середине стоят два числа: 4 и 6.

3. Найдём их среднее арифметическое: $(4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5$.

Таким образом, медиана этого набора равна 5. Для набора из $n$ элементов, где $n$ чётно, медиану находят как среднее арифметическое элементов с номерами $n/2$ и $n/2+1$.

Ответ: Медиана числового набора — это значение, которое делит упорядоченный (отсортированный) набор данных на две равные по количеству элементов части. Если количество элементов в наборе нечётное, медианой является центральный элемент. Если количество элементов чётное, медианой является среднее арифметическое двух центральных элементов.

3 В упорядоченном по возрастанию числовом наборе 19 чисел. Каким по счёту числом является медиана в этом наборе?

Медианой упорядоченного числового набора называется число, которое находится ровно посередине этого набора.

В данном наборе 19 чисел. Это нечетное количество элементов ($n = 19$).

Для нахождения порядкового номера медианы в наборе с нечетным количеством элементов используется формула:

$N_{медианы} = \frac{n + 1}{2}$

где $n$ — количество чисел в наборе.

Подставим в формулу наше значение $n = 19$:

$N_{медианы} = \frac{19 + 1}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Следовательно, медиана является 10-м по счёту числом в данном упорядоченном наборе. Перед ней будет 9 чисел, и после нее также будет 9 чисел.

Ответ: 10.

4 В упорядоченном по возрастанию числовом наборе 24 числа. Между какими двумя числами (по счёту) заключена медиана этого набора?

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный (по возрастанию или убыванию) набор данных на две равные части.

Порядок нахождения медианы зависит от того, чётное или нечётное количество элементов в наборе.

• Если количество элементов нечётное, медианой является число, стоящее ровно посередине.
• Если количество элементов чётное, медианой является среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

В данном наборе $n = 24$ числа. Это чётное количество.

Чтобы найти два центральных числа, нужно разделить общее количество чисел на 2.

Первое центральное число будет иметь порядковый номер $n / 2$:
$24 / 2 = 12$.

Второе центральное число будет иметь следующий за ним порядковый номер $(n / 2) + 1$:
$12 + 1 = 13$.

Следовательно, медиана этого набора будет равна среднему арифметическому 12-го и 13-го чисел. Это означает, что она заключена между 12-м и 13-м числами по счёту.

Ответ: между 12-м и 13-м.

5 Что такое выброс?

Выброс (или аномальное значение, outlier) в статистике и анализе данных — это результат измерения, который разительно отличается от остальных значений в выборке. Иными словами, это точка данных, которая лежит далеко за пределами общего распределения основной массы данных.

Возникновение выбросов может быть обусловлено различными причинами:

• Ошибки измерения: неисправность оборудования, сбои в работе систем или человеческий фактор при снятии показаний.
• Ошибки ввода данных: опечатки при ручном вводе информации (например, лишний ноль: 1000 вместо 100).
• Ошибки выборки: случайное включение в выборку объекта из другой генеральной совокупности (например, при анализе роста учеников 5-го класса в выборку случайно попал учитель).
• Истинные экстремальные значения: выброс может быть не ошибкой, а реальным, хотя и очень редким, явлением. Такие выбросы часто представляют наибольший интерес для исследователя (например, рекордно высокая дневная выручка магазина).

Выбросы могут существенно искажать результаты статистического анализа. Они сильно влияют на такие показатели, как среднее арифметическое и стандартное отклонение, смещая их в свою сторону. В то же время, медиана и межквартильный размах являются более устойчивыми (робастными) к выбросам.

Существует несколько методов для обнаружения выбросов. Рассмотрим два основных:

1. Метод межквартильного размаха (IQR)

Это один из самых распространенных и робастных (устойчивых к выбросам) методов. Он не зависит от среднего значения и стандартного отклонения, поэтому хорошо работает для скошенных распределений. Алгоритм следующий:

1. Данные сортируются по возрастанию.
2. Вычисляются первый (нижний) квартиль $Q_1$ (значение, ниже которого находится 25% данных) и третий (верхний) квартиль $Q_3$ (значение, ниже которого находится 75% данных).
3. Рассчитывается межквартильный размах: $IQR = Q_3 - Q_1$. Это диапазон, в котором находится центральная половина данных.
4. Определяются "усы" или границы, за которыми значения считаются выбросами:
   • Нижняя граница: $L = Q_1 - 1.5 \times IQR$
   • Верхняя граница: $U = Q_3 + 1.5 \times IQR$
5. Любое значение в выборке, которое меньше нижней границы $L$ или больше верхней границы $U$, считается выбросом. Этот метод визуально представлен на диаграмме "ящик с усами" (box plot).

2. Метод, основанный на стандартном отклонении (Z-оценка)

Этот метод хорошо работает для данных, которые распределены приблизительно нормально. Для каждой точки данных вычисляется Z-оценка, которая показывает, на сколько стандартных отклонений точка удалена от среднего.

Формула Z-оценки: $Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, где $x$ — значение точки, $\mu$ — среднее арифметическое выборки, а $\sigma$ — стандартное отклонение выборки.

Как правило, точки, для которых абсолютное значение Z-оценки больше 3 ($|Z| > 3$), считаются выбросами.

Пример обнаружения выброса методом IQR:

Рассмотрим выборку данных о времени (в минутах), затраченном на решение задачи: {10, 12, 11, 15, 13, 9, 55}.

1. Отсортируем данные: {9, 10, 11, 12, 13, 15, 55}.
2. Находим квартили: $Q_1 = 10$, медиана ($Q_2$) = 12, $Q_3 = 15$.
3. Вычисляем межквартильный размах: $IQR = Q_3 - Q_1 = 15 - 10 = 5$.
4. Определяем границы:
Нижняя граница: $10 - 1.5 \times 5 = 10 - 7.5 = 2.5$.
Верхняя граница: $15 + 1.5 \times 5 = 15 + 7.5 = 22.5$.
5. Значение 55 находится за пределами верхней границы ($55 > 22.5$), следовательно, оно является выбросом. Остальные значения лежат в интервале [2.5, 22.5].

В зависимости от причины возникновения и цели анализа, с выбросами можно поступить по-разному:

• Исключить: если доказано, что это ошибка измерения или ввода.
• Скорректировать: если ошибка известна и может быть исправлена.
• Оставить: если это подлинное, хоть и редкое, наблюдение, которое важно для понимания явления.
• Трансформировать данные: применить математические преобразования (например, логарифмирование) для уменьшения влияния выбросов.

Ответ: Выброс — это значение в наборе данных, которое резко выделяется на фоне остальных, то есть является аномально большим или аномально малым. Такие значения могут возникать из-за ошибок или представлять собой подлинные, но редкие явления, и их необходимо выявлять, так как они могут сильно искажать результаты анализа данных (например, среднее значение). Для их обнаружения используют статистические методы, например, на основе межквартильного размаха.

6 В чём главное достоинство медианы как центральной меры?

Главное достоинство медианы как центральной меры — её устойчивость к выбросам, то есть к аномально большим или малым значениям в наборе данных. Это свойство также называют робастностью.

В отличие от среднего арифметического, которое вычисляется с учётом величины каждого значения в выборке, медиана определяется только своим положением в упорядоченном ряду данных. Из-за этого экстремальные значения (выбросы) практически не влияют на медиану, но могут сильно искажать среднее арифметическое, делая его плохим показателем "типичного" значения.

Рассмотрим это на примере зарплат в группе из 5 человек (в условных единицах):

Случай 1: Без выбросов
Набор данных: {30, 40, 50, 60, 70}.
Упорядоченный ряд: 30, 40, 50, 60, 70.
Медиана (центральный элемент) равна 50.
Среднее арифметическое: $ (30 + 40 + 50 + 60 + 70) / 5 = 50 $.
В данном случае медиана и среднее совпадают.

Случай 2: С выбросом
Теперь предположим, что зарплата одного человека стала аномально высокой, например, 500.
Набор данных: {30, 40, 50, 60, 500}.
Упорядоченный ряд: 30, 40, 50, 60, 500.
Медиана по-прежнему равна 50, так как это значение всё ещё находится в центре упорядоченного ряда.
Среднее арифметическое: $ (30 + 40 + 50 + 60 + 500) / 5 = 136 $.
Среднее значение сильно увеличилось и теперь плохо отражает доход большинства людей в группе. Медиана же (50) осталась репрезентативной.

Таким образом, медиана является предпочтительной мерой центральной тенденции для наборов данных с асимметричным распределением (например, доходы населения, цены на недвижимость) или при наличии потенциальных ошибок и аномалий в данных.

Ответ: Главное достоинство медианы как центральной меры заключается в её устойчивости (робастности) к экстремальным значениям (выбросам), благодаря чему она лучше отражает "типичное" значение в асимметричных распределениях данных.

101 При двукратном бросании монеты в первый раз выпала решка. Найдите условную вероятность события:

а) «оба раза выпадет решка»;

б) «выпадет хотя бы один орёл»;

в) «выпадут два орла».

Для решения задачи об условной вероятности сначала определим пространство всех возможных исходов при двукратном бросании монеты. Обозначим орла буквой «О», а решку — «Р». Тогда все возможные равновероятные исходы будут следующими: { (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р) }. Всего 4 исхода.

По условию, в первый раз выпала решка. Это наше условие, которое сужает пространство возможных исходов. Теперь мы рассматриваем только те исходы, где на первом месте стоит «Р». Таких исходов два: { (Р, О), (Р, Р) }. Эти два исхода в новом, условном пространстве, являются равновероятными. Вероятность каждого из них в рамках этого нового пространства равна $1/2$.

Теперь найдем вероятности для каждого из предложенных событий.

а) «оба раза выпадет решка»

Это событие соответствует исходу (Р, Р). В нашем новом пространстве исходов { (Р, О), (Р, Р) } этот исход является одним из двух возможных. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно 1. Условная вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов в новом пространстве: $P(\text{оба Р} | \text{первая Р}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: 0,5

б) «выпадет хотя бы один орёл»

Рассмотрим наше условное пространство исходов: { (Р, О), (Р, Р) }. Нам нужно, чтобы выпал хотя бы один орёл. Этому условию удовлетворяет только один исход — (Р, О). Исход (Р, Р) не содержит орлов. Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 1. Условная вероятность этого события равна: $P(\text{хотя бы один О} | \text{первая Р}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: 0,5

в) «выпадут два орла»

Это событие соответствует исходу (О, О). В нашем условном пространстве исходов { (Р, О), (Р, Р) } нет исхода (О, О), так как мы уже знаем, что первый бросок — решка. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно 0. Условная вероятность этого события равна: $P(\text{два О} | \text{первая Р}) = \frac{0}{2} = 0$.

Ответ: 0

102 При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 8.

Найдите условную вероятность события:

а) «в первый раз выпадет 3 очка»;

б) «при одном из бросков выпадет 3 очка»;

в) «в первый раз выпадет меньше 5 очков»;

г) «во второй раз выпадет меньше 2 очков».

По условию, при двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 8. Это наше условие, которое определяет пространство элементарных исходов. Найдем все комбинации очков $(x, y)$, где $x$ - результат первого броска, а $y$ - второго, такие что $x+y=8$ и $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Перечислим все такие исходы:
(2, 6)
(3, 5)
(4, 4)
(5, 3)
(6, 2)

Всего получилось 5 равновероятных исходов. Это общее число исходов $n=5$ в нашем пространстве событий. Условная вероятность любого события $A$ при данном условии будет вычисляться по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятствующих исходов для события $A$ из перечисленных выше.

а) «в первый раз выпадет 3 очка»

Среди 5 возможных исходов $\{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}$ найдем те, в которых на первом месте стоит 3. Такой исход только один: (3, 5). Значит, число благоприятствующих исходов $m = 1$. Искомая условная вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) «при одном из бросков выпадет 3 очка»

Среди 5 возможных исходов $\{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}$ найдем те, в которых есть число 3. Таких исходов два: (3, 5) и (5, 3). Значит, число благоприятствующих исходов $m = 2$. Искомая условная вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) «в первый раз выпадет меньше 5 очков»

Среди 5 возможных исходов $\{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}$ найдем те, в которых число очков при первом броске меньше 5. Этому условию удовлетворяют исходы, где первое число равно 2, 3 или 4. Это следующие исходы: (2, 6), (3, 5), (4, 4). Значит, число благоприятствующих исходов $m = 3$. Искомая условная вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) «во второй раз выпадет меньше 2 очков»

Среди 5 возможных исходов $\{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}$ найдем те, в которых число очков при втором броске меньше 2. Единственное возможное значение — 1. В нашем списке нет ни одного исхода, где второе число равно 1. Значит, число благоприятствующих исходов $m = 0$. Искомая условная вероятность равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{0}{5} = 0$.
Ответ: $0$.

103 При двукратном бросании игральной кости сумма выпавших очков равна 9.

Найдите условную вероятность события:

а) «в первый раз выпадет 5 очков»;

б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»;

в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»;

г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка».

Для решения задачи найдем сначала все возможные исходы при двукратном бросании игральной кости, при которых сумма выпавших очков равна 9. Пусть $(x, y)$ — пара чисел, выпавших на первой и второй кости соответственно, где $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Нам нужно найти все пары $(x, y)$ такие, что $x + y = 9$.

Возможные комбинации:

• Если на первой кости выпало 3, то на второй должно выпасть 6: $(3, 6)$.
• Если на первой кости выпало 4, то на второй должно выпасть 5: $(4, 5)$.
• Если на первой кости выпало 5, то на второй должно выпасть 4: $(5, 4)$.
• Если на первой кости выпало 6, то на второй должно выпасть 3: $(6, 3)$.

Таким образом, существует всего 4 равновероятных исхода, удовлетворяющих условию, что сумма очков равна 9. Это наше новое, сокращенное пространство элементарных исходов: $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$. Общее число исходов $N=4$. Теперь найдем вероятность для каждого из указанных событий.

а) «в первый раз выпадет 5 очков»
Среди четырех возможных исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых на первой кости выпало 5 очков. Этому условию удовлетворяет только один исход: $(5, 4)$.
Число благоприятных исходов $k = 1$.
Условная вероятность этого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов в сокращенном пространстве:
$P = \frac{k}{N} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) «при одном из бросков выпадет 4 очка»
Среди исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых хотя бы раз выпало 4 очка. Этому условию удовлетворяют два исхода: $(4, 5)$ и $(5, 4)$.
Число благоприятных исходов $k = 2$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{k}{N} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) «в первый раз выпадет меньше очков, чем во второй»
Среди исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых число очков на первой кости меньше, чем на второй ($x < y$).
- $(3, 6)$: $3 < 6$ (условие выполняется).- $(4, 5)$: $4 < 5$ (условие выполняется).- $(5, 4)$: $5 > 4$ (условие не выполняется).- $(6, 3)$: $6 > 3$ (условие не выполняется).Этому условию удовлетворяют два исхода. Число благоприятных исходов $k = 2$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{k}{N} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) «во второй раз выпадет меньше чем 3 очка»
Среди исходов $\{(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)\}$ ищем те, в которых число очков на второй кости меньше 3 (то есть 1 или 2).
- В исходе $(3, 6)$ на второй кости 6 очков.- В исходе $(4, 5)$ на второй кости 5 очков.- В исходе $(5, 4)$ на второй кости 4 очка.- В исходе $(6, 3)$ на второй кости 3 очка.Ни один из исходов не удовлетворяет условию. Число благоприятных исходов $k = 0$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{k}{N} = \frac{0}{4} = 0$.
Ответ: $0$.

104 Игральную кость бросают 2 раза. В первый раз выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что после второго броска сумма очков окажется:

а) равна 9;

б) больше чем 7;

в) больше чем 10;

г) меньше чем 5.

По условию задачи, результат первого броска игральной кости известен и равен 3. Вероятность исхода зависит только от результата второго броска.

При броске стандартной игральной кости может выпасть одно из шести чисел: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Таким образом, общее число равновероятных исходов для второго броска $n=6$.

Вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ - число благоприятствующих исходов, а $n$ - общее число исходов.

Пусть $x$ — количество очков, выпавшее при втором броске. Тогда сумма очков за два броска равна $S = 3 + x$.

1 Запишите обозначение для условной вероятности события C при условии события B.

1 Условная вероятность — это вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло. Стандартное обозначение для условной вероятности события A при условии наступления события B записывается как $P(A|B)$ и читается как «вероятность A при условии B». В данном вопросе требуется записать обозначение для вероятности события C при условии события B. Следуя стандартной нотации, мы заменяем A на C, а B остается B. Таким образом, искомое обозначение имеет вид $P(C|B)$.
Ответ: $P(C|B)$

2 Чему равна условная вероятность выпадения двух орлов при двукратном бросании монеты, если в первый раз выпала решка?

Это задача на условную вероятность. Обозначим события:
A = «выпадение двух орлов» (исход ОО, где О — орёл, Р — решка).
B = «в первый раз выпала решка».

Нам необходимо найти вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, то есть условную вероятность $P(A|B)$.

Способ 1: Сокращение пространства исходов

При двукратном бросании монеты существует 4 равновероятных элементарных исхода: {ОО, ОР, РО, РР}.

Условие «в первый раз выпала решка» означает, что мы должны рассматривать только те исходы, которые начинаются с Р. Таких исходов два: {РО, РР}. Это наше новое, сокращенное пространство исходов.

Теперь в этом новом пространстве нам нужно найти вероятность события A — «выпадение двух орлов». Исход, соответствующий событию A, — это {ОО}. Этот исход не входит в наше новое пространство {РО, РР}. Следовательно, при условии, что первая выпала решка, выпадение двух орлов является невозможным событием. Вероятность невозможного события равна 0.

Способ 2: Использование формулы условной вероятности

Формула условной вероятности имеет вид: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Найдем вероятности $P(A \cap B)$ и $P(B)$.
Событие $B$ («в первый раз выпала решка») включает исходы {РО, РР}. Всего 2 исхода из 4 возможных. Значит, $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Событие $(A \cap B)$ означает, что произошли оба события: «выпало два орла» И «в первый раз выпала решка». Эти два условия несовместимы (если первая решка, то два орла выпасть уже не могут). Следовательно, это невозможное событие, и его вероятность $P(A \cap B) = 0$.

Подставим значения в формулу:
$P(A|B) = \frac{0}{1/2} = 0$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0

3 Чему равна условная вероятность выпадения двух орлов при двукратном бросании монеты, если в первый раз выпал орёл?

Для решения этой задачи об условной вероятности можно рассмотреть несколько подходов.

Изначально при двукратном бросании монеты существует 4 равновероятных исхода (О – орёл, Р – решка): {ОО, ОР, РО, РР}.

Условие, что «в первый раз выпал орёл», означает, что мы должны рассматривать только те исходы, которые начинаются с «О». Таким образом, наше пространство возможных исходов сокращается до двух равновероятных вариантов: {ОО, ОР}.

В этом новом, сокращенном пространстве нам нужно найти вероятность события «выпало два орла». Этому событию соответствует только один исход — {ОО}.

Поскольку в новом пространстве всего два исхода и только один из них является благоприятным, искомая вероятность равна:

$P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число возможных исходов}} = \frac{1}{2}$

Обозначим события:
A = «выпало два орла»
B = «в первый раз выпал орёл»

Нам необходимо найти условную вероятность $P(A|B)$, которая вычисляется по формуле:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Вероятность события B (первый бросок — орёл) в исходном пространстве из 4 исходов ({ОО, ОР, РО, РР}) равна $P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, так как ему благоприятствуют два исхода: {ОО} и {ОР}.

Событие $A \cap B$ (пересечение A и B) означает, что «выпало два орла» И «первый был орёл». Этому соответствует только один исход {ОО}. Его вероятность в исходном пространстве $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.

Подставляем найденные значения в формулу:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Также можно рассуждать, исходя из независимости событий. Результат второго броска монеты не зависит от результата первого. Поскольку мы уже знаем, что первый бросок дал орла, для выполнения условия «два орла» нам необходимо, чтобы и второй бросок был орлом. Вероятность этого события для одного броска составляет $1/2$.

Ответ: $1/2$ или 0,5.

4 В некотором опыте произошло событие $B$. Может ли это увеличить вероятность другого события; уменьшить вероятность другого события? Приведите примеры, когда условная вероятность события больше и когда она меньше исходной вероятности этого события.

Да, наступление события B может как увеличить, так и уменьшить вероятность другого события A. Вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью и обозначается как $P(A|B)$. Изменение вероятности зависит от того, являются ли события зависимыми. Если $P(A|B) > P(A)$, то событие B увеличивает вероятность A. Если $P(A|B) < P(A)$, то событие B уменьшает вероятность A.

Пример, когда условная вероятность события больше исходной

Рассмотрим опыт: из стандартной колоды в 52 карты случайным образом вытягивается одна карта.

Пусть событие A — «вытянутая карта — король».

В колоде 4 короля, поэтому исходная (безусловная) вероятность события A равна:

$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

Пусть событие B — «вытянутая карта — это "картинка" (валет, дама или король)».

В колоде 12 "картинок" (по 3 в каждой из 4 мастей). Вероятность события B равна:

$P(B) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$

Теперь найдем условную вероятность события A при условии, что событие B произошло, то есть $P(A|B)$. Если мы знаем, что вытянутая карта — "картинка", то наше пространство элементарных исходов сужается до 12 карт. Среди этих 12 карт есть 4 короля.

Следовательно, условная вероятность равна:

$P(A|B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Сравним исходную и условную вероятности:

$\frac{1}{3} > \frac{1}{13}$

Таким образом, $P(A|B) > P(A)$. Знание о том, что произошло событие B, увеличило вероятность события A.

Ответ: Да, наступление одного события может увеличить вероятность другого. В приведенном примере знание о том, что карта является "картинкой", увеличивает вероятность того, что эта карта — король, с $1/13$ до $1/3$.

Пример, когда условная вероятность события меньше исходной

Рассмотрим опыт: бросают две игральные кости.

Всего возможных исходов $6 \times 6 = 36$.

Пусть событие A — «сумма выпавших очков равна 10».

Благоприятные исходы для события A: (4, 6), (5, 5), (6, 4). Всего 3 исхода.

Исходная вероятность события A равна:

$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Пусть событие B — «на первой кости выпало число, меньшее 5» (т.е. 1, 2, 3 или 4).

Количество исходов, благоприятствующих событию B, равно $4 \times 6 = 24$.

Теперь найдем условную вероятность $P(A|B)$, то есть вероятность того, что сумма очков равна 10, при условии, что на первой кости выпало число, меньшее 5.

Пространство исходов сузилось до 24, где первая кость — 1, 2, 3 или 4. Из них найдем те, что благоприятствуют событию A (сумма равна 10):

• Если на первой кости 1, на второй должно быть 9 (невозможно).
• Если на первой кости 2, на второй должно быть 8 (невозможно).
• Если на первой кости 3, на второй должно быть 7 (невозможно).
• Если на первой кости 4, на второй должно быть 6 (возможно, исход (4, 6)).

Таким образом, из 24 возможных исходов только один, (4, 6), удовлетворяет условию, что сумма равна 10.

Условная вероятность равна:

$P(A|B) = \frac{1}{24}$

Сравним исходную и условную вероятности:

$\frac{1}{24} < \frac{1}{12}$ (поскольку $\frac{1}{12} = \frac{2}{24}$)

Таким образом, $P(A|B) < P(A)$. Знание о том, что произошло событие B, уменьшило вероятность события A.

Ответ: Да, наступление одного события может уменьшить вероятность другого. В приведенном примере знание о том, что на первой кости выпало меньше 5, уменьшает вероятность того, что сумма очков равна 10, с $1/12$ до $1/24$.