Номер 5, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

5 Что такое выброс?

Выброс (или аномальное значение, outlier) в статистике и анализе данных — это результат измерения, который разительно отличается от остальных значений в выборке. Иными словами, это точка данных, которая лежит далеко за пределами общего распределения основной массы данных.

Возникновение выбросов может быть обусловлено различными причинами:

• Ошибки измерения: неисправность оборудования, сбои в работе систем или человеческий фактор при снятии показаний.
• Ошибки ввода данных: опечатки при ручном вводе информации (например, лишний ноль: 1000 вместо 100).
• Ошибки выборки: случайное включение в выборку объекта из другой генеральной совокупности (например, при анализе роста учеников 5-го класса в выборку случайно попал учитель).
• Истинные экстремальные значения: выброс может быть не ошибкой, а реальным, хотя и очень редким, явлением. Такие выбросы часто представляют наибольший интерес для исследователя (например, рекордно высокая дневная выручка магазина).

Выбросы могут существенно искажать результаты статистического анализа. Они сильно влияют на такие показатели, как среднее арифметическое и стандартное отклонение, смещая их в свою сторону. В то же время, медиана и межквартильный размах являются более устойчивыми (робастными) к выбросам.

Существует несколько методов для обнаружения выбросов. Рассмотрим два основных:

1. Метод межквартильного размаха (IQR)

Это один из самых распространенных и робастных (устойчивых к выбросам) методов. Он не зависит от среднего значения и стандартного отклонения, поэтому хорошо работает для скошенных распределений. Алгоритм следующий:

1. Данные сортируются по возрастанию.
2. Вычисляются первый (нижний) квартиль $Q_1$ (значение, ниже которого находится 25% данных) и третий (верхний) квартиль $Q_3$ (значение, ниже которого находится 75% данных).
3. Рассчитывается межквартильный размах: $IQR = Q_3 - Q_1$. Это диапазон, в котором находится центральная половина данных.
4. Определяются "усы" или границы, за которыми значения считаются выбросами:
   • Нижняя граница: $L = Q_1 - 1.5 \times IQR$
   • Верхняя граница: $U = Q_3 + 1.5 \times IQR$
5. Любое значение в выборке, которое меньше нижней границы $L$ или больше верхней границы $U$, считается выбросом. Этот метод визуально представлен на диаграмме "ящик с усами" (box plot).

2. Метод, основанный на стандартном отклонении (Z-оценка)

Этот метод хорошо работает для данных, которые распределены приблизительно нормально. Для каждой точки данных вычисляется Z-оценка, которая показывает, на сколько стандартных отклонений точка удалена от среднего.

Формула Z-оценки: $Z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, где $x$ — значение точки, $\mu$ — среднее арифметическое выборки, а $\sigma$ — стандартное отклонение выборки.

Как правило, точки, для которых абсолютное значение Z-оценки больше 3 ($|Z| > 3$), считаются выбросами.

Пример обнаружения выброса методом IQR:

Рассмотрим выборку данных о времени (в минутах), затраченном на решение задачи: {10, 12, 11, 15, 13, 9, 55}.

1. Отсортируем данные: {9, 10, 11, 12, 13, 15, 55}.
2. Находим квартили: $Q_1 = 10$, медиана ($Q_2$) = 12, $Q_3 = 15$.
3. Вычисляем межквартильный размах: $IQR = Q_3 - Q_1 = 15 - 10 = 5$.
4. Определяем границы:
Нижняя граница: $10 - 1.5 \times 5 = 10 - 7.5 = 2.5$.
Верхняя граница: $15 + 1.5 \times 5 = 15 + 7.5 = 22.5$.
5. Значение 55 находится за пределами верхней границы ($55 > 22.5$), следовательно, оно является выбросом. Остальные значения лежат в интервале [2.5, 22.5].

В зависимости от причины возникновения и цели анализа, с выбросами можно поступить по-разному:

• Исключить: если доказано, что это ошибка измерения или ввода.
• Скорректировать: если ошибка известна и может быть исправлена.
• Оставить: если это подлинное, хоть и редкое, наблюдение, которое важно для понимания явления.
• Трансформировать данные: применить математические преобразования (например, логарифмирование) для уменьшения влияния выбросов.

Ответ: Выброс — это значение в наборе данных, которое резко выделяется на фоне остальных, то есть является аномально большим или аномально малым. Такие значения могут возникать из-за ошибок или представлять собой подлинные, но редкие явления, и их необходимо выявлять, так как они могут сильно искажать результаты анализа данных (например, среднее значение). Для их обнаружения используют статистические методы, например, на основе межквартильного размаха.